[논문 리뷰] Complexes d'intersection des compactifications de Baily-Borel. Le cas des groupes unitaires sur Q

Sophie Morel|ArXiv.org|2006. 01. 11.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 9인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 유니타리 쇼이마 다양체의 바일리-보어(compactification)의 교차 코hom로지에서 프로베누스의 추적을 계산하기 위해 가중 복합체와 핀크의 정리(정리)를 사용하여, 유리수 위에서의 임의의 랭크 단위군으로부터의 결과를 확장하는 공식을 수립한다. 이는 정의역의 정수 모델에 대한 토로이드(compactification)가 존재하지 않는다는 점을 고려하여, 양의 특성에서의 추적 공식 방법을 새로운 방식으로 적응시킨다. 또한 교차 복합체의 L-함수는 자동형 L-함수들의 곱임을 증명하며, 이는 랭크 1에서의 결과를 임의의 랭크 단위군으로 일반화한다.

ABSTRACT

In this work, we calculate the trace of a power of the Frobenius endomorphism on the fibers of the intersection complex of the Baily-Borel compactification of a Shimura variety associated to a unitary group over Q. Our main tool is Pink's theorem about the restriction to the strata of the Baily-Borel compactification of the direct image of a local system on the Shimura variety. To use this theorem, we give a new construction of the intermediate extension of a pure perverse sheaf as a weight truncated of the full direct image. More generally, we are able to define analogs in positive characteristic of the weighted cohomology complexes introduced by Goresky, Harder and MacPherson. ----- Dans ce travail, nous calculons la trace d'une puissance de l'endomorphisme de Frobenius sur les fibres du complexe d'intersection de la compactification de Baily-Borel d'une variete de Shimura associee a un groupe unitaire sur Q. Notre outil principal est le theoreme de Pink sur la restriction aux strates de la compactification de Baily-Borel de l'image directe d'un systeme de coefficients sur la variete de Shimura. Pour pouvoir utiliser ce theoreme, nous donnons une nouvelle construction du prolongement intermediaire d'un faisceau pervers pur comme un tronque par le poids de l'image directe ordinaire. Plus generalement, nous definissons des analogues en caracteristique strictement positive des complexes ponderes introduits par Goresky, Harder et MacPherson.

연구 동기 및 목표

• 유니타리 군의 랭크 1에서의 추적 공식 방법을 Q 위에서의 임의의 랭크 단위군으로 일반화하여, 교차 코호몰로지의 L-함수를 계산하는 것.
• 정수 모델에 대한 토로이드(compactification)가 존재하지 않는다는 점을 고려하여, 바일리-보어(compactification)를 사용하고, 이 방법을 양의 특성으로 적응시키는 것.
• 유니타리 군의 교차 복합체의 L-함수가 자동형 L-함수들의 곱임을 증명하는 것.
• 바일리-보어(compactification)의 설정에서 가중 복합체와 펄스성 절단을 확장하기 위해 경계 스트라타에 대한 프로베누스 가중치를 사용하는 것.
• 바일리-보어로의 사상에 따라, 바울-세르(compactification)에서의 가중 복합체의 직접 이미지의 무게 절단으로서 교차 복합체가 유도됨을 증명하는 것.

제안 방법

• 고레스키-하더-맥퍼슨의 가중 복합체 방법을, 경계 스트라타에서 프로베누스 가중치 절단을 통해 양의 특성으로 적응시킨다.
• 핀크의 정리를 사용하여 국소 시스템의 경계 스트라타로의 제한을, 복합부분군과 이중 코셋을 통해 기술한다.
• 공식 $j_{!*}K = w_{\leqslant a}Rj_*K$ 를 적용하여, 교차 복합체가 가중 복합체의 직접 이미지의 무게 절단임을 식별한다.
• 바일리-보어(compactification)에서의 가중 복합체에 대한 추적 공식을 적용하며, 스트라타에 대한 토로이드 가중치를 프로베누스 가중치로 대체한다.
• 표준 복합부분군 $S \subset \{1,\dots,q\}$ 에 대한 합으로서 추적 공식을 유도하며, 무게 조건이 포함된 리 대수 코호몰로지에서의 추적을 포함한다.
• 항등식 $\mathrm{Tr}(\gamma_0, R\Gamma(\mathfrak{Lie}(\mathbf{N}_S), V)_{\geqslant t_s, s\in S}) = \sum_{J\subset S} (-1)^{\mathrm{card}(J)} \mathrm{Tr}(\gamma_0, R\Gamma(\mathfrak{Lie}(\mathbf{N}_S), V)_{<t_j, j\in J})$ 를 사용하여 스트라타에서의 추적을 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 토로이드(compactification)가 존재하지 않는 상황에서, Q 위의 유니타리 쇼이마 다양체의 바일리-보어(compactification)에서 프로베누스의 추적을 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 Q 위의 유니타리 쇼이마 다양체의 바일리-보어(compactification)에서 교차 복합체의 구조는 어떠한가?
• RQ3 교차 복합체의 L-함수는 고-ranking 유니타리 군에 대해 자동형 L-함수들의 곱으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 바울-세르(compactification)에서의 가중 복합체는 바일리-보어(compactification)의 교차 코호몰로지와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 양의 특성에서, 복합부분군 가중치 절단의 역할을 대체하기 위해 프로베누스 가중치 절단이 어떻게 기능하는가?

주요 결과

• 바일리-보어(compactification)에서의 교차 복합체는 가중 복합체의 직접 이미지의 무게 절단 $w_{\leqslant a}Rj_*K$ 와 동형이다.
• 프로베누스의 추적은 표준 복합부분군 $S \subset \{1,\dots,q\}$ 에 대한 합으로 계산되며, 무게 조건이 포함된 리 대수 코호몰로지에서의 추적을 포함한다.
• 추적 공식은 $J \subset S$ 에 대한 합으로서, 부호가 번갈아가는 항을 포함하며, 이는 경계 분할의 조합론적 성질을 반영한다.
• 교차 복합체의 L-함수가 자동형 L-함수들의 곱임을 증명하며, 이는 랭크 1에서의 결과를 임의의 랭크 유니타리 군으로 일반화한다.
• 정수 모델에 대한 토로이드(compactification)가 존재하지 않기 때문에, 이 방법은 유한 개를 제외한 모든 소수에 대해 유효하다.
• 핵심 기술 도구는, 바울-세르에서 바일리-보어로의 자연스러운 사상에 따라, 가중 복합체의 무게 절단을 통한 교차 복합체의 이미지로의 식별이다.