[논문 리뷰] Composition theorems in communication complexity

Troy Lee, Shengyu Zhang|arXiv (Cornell University)|2010. 03. 07.

Coding theory and cryptography참고 문헌 25인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 $F(x,y) = f(g(x,y))$ 형태의 복합 함수의 양자 통신 복잡도를 분석하기 위해 군 기반 프레임워크를 도입함으로써 통신 복잡도 이론의 복합 정리들을 일반화한다. 여기서 $g$는 군 $G$로 사상된다. 군 불변성 조건이란 조건은 샤르스토프의 강한 균형 조건을 일반화하고 시-주(SHl-Zhu)의 스펙트럼 이질성 요구 조건을 완화함으로써, $f$의 근사 차수에 기반한 양자 통신 복잡도의 하한을 확립한다.

ABSTRACT

A well-studied class of functions in communication complexity are composed functions of the form $(f \comp g^n)(x,y)=f(g(x^1, y^1),..., g(x^n,y^n))$. This is a rich family of functions which encompasses many of the important examples in the literature. It is thus of great interest to understand what properties of $f$ and $g$ affect the communication complexity of $(f \comp g^n)$, and in what way. Recently, Sherstov \cite{She09b} and independently Shi-Zhu \cite{SZ09b} developed conditions on the inner function $g$ which imply that the quantum communication complexity of $f \comp g^n$ is at least the approximate polynomial degree of $f$. We generalize both of these frameworks. We show that the pattern matrix framework of Sherstov works whenever the inner function $g$ is {\em strongly balanced}---we say that $g: X imes Y o \{-1,+1\}$ is strongly balanced if all rows and columns in the matrix $M_g=[g(x,y)]_{x,y}$ sum to zero. This result strictly generalizes the pattern matrix framework of Sherstov \cite{She09b}, which has been a very useful idea in a variety of settings \cite{She08b,RS08,Cha07,LS09,CA08,BHN09}. Shi-Zhu require that the inner function $g$ has small {\em spectral discrepancy}, a somewhat awkward condition to verify. We relax this to the usual notion of discrepancy. We also enhance the framework of composed functions studied so far by considering functions $F(x,y) = f(g(x,y))$, where the range of $g$ is a group $G$. When $G$ is Abelian, the analogue of the strongly balanced condition becomes a simple group invariance property of $g$. We are able to formulate a general lower bound on $F$ whenever $g$ satisfies this property.

연구 동기 및 목표

• 기존의 복합 정리들이 불리안 내부 함수에 국한된 경우를 초월하여 통신 복잡도 이론을 확장하기 위해.
• 샤르스토프(패턴 행렬)와 시-주(스펙트럼 이질성)의 프레임워크를 통합하고 일반화하여 양자 통신 복잡도를 유계로 하는 데 목적이 있다.
• 내부 함수 $g$가 임의의 군 $G$로 사상되는 군 이론 기반 프레임워크를 도입하여 더 넓은 범위의 복합 함수를 분석할 수 있도록 하기 위해.
• 시-주의 복잡한 스펙트럼 이질성 조건을 더 단순하고 자연스러운 군 불변성 조건으로 대체하여 강한 균형 조건을 일반화하기 위해.
• 이 새로운 조건 하에서 $f \circ g^n$의 양자 통신 복잡도에 대한 일반적인 하한을 근사 차수 $\deg_{1/3}(f)$에 기반해 확립하기 위해.

제안 방법

• 내부 함수 $g: X \times Y \to G$이며 $G$가 유한 군인 복합 함수 $F(x,y) = f(g(x,y))$를 위한 일반적 프레임워크를 도입하며, 불리안 경우를 일반화한다.
• 샤르스토프의 강한 균형 조건을 일반화하는 군 불변성 조건을 정의한다: 다중집합 $S^{x,x'}$와 $T^{y,y'}$는 군 작용에 대해 불변이어야 한다.
• 특히 기약 특성(character)을 포함한 유한 군의 표현 이론을 적용하여 $F$의 통신 행렬을 분해한다.
• 행렬 표현의 텐서곱 구조를 이용하여 특성 행렬의 $\ell^2$-노름을 통해 양자 통신 복잡도를 유계로 한다.
• 양자 통신 복잡도 $Q(A)$의 하한을 $S$의 좌표 $i \in S$에 대해 $\log_2 \frac{\sqrt{\mathrm{size}(M_{g_i})}}{\deg(\chi_i) \|M_{\chi_i \circ g_i}\|}$의 합으로 유도하며, 여기서 $S$는 $\deg_{1/3}(f)$를 초과하는 크기를 가진다.
• 아벨 군의 경우 군 불변성 조건은 $G = \mathbb{Z}_2^t$일 때 표준적인 강한 균형 조건으로 축소되며, 이는 이전 결과들을 통합함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 샤르스토프의 패턴 행렬 프레임워크는 불리안 경우를 초월하여 군 값을 갖는 내부 함수로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 시-주의 양자 통신 복잡도 하한을 위한 스펙트럼 이질성 조건은 더 단순하고 자연스러운 대체 조건을 갖는가?
• RQ3 내부 함수 $g$에 대해 어떤 군 이론적 조건이 $f \circ g^n$의 양자 통신 복잡도가 $f$의 근사 차수에 의해 하한으로 유도되는지를 보장하는가?
• RQ4 내부 함수 $g$가 곱 군 $G_1 \times \cdots \times G_t$로 사상될 경우, $f \circ g^n$의 통신 행렬의 구조는 어떻게 분해되는가?
• RQ5 군 불변성 조건이 $f \circ g^n$의 양자 복잡도가 $f$의 근사 차수 이상임을 암시하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 샤르스토프의 패턴 행렬 프레임워크를 군 값을 갖는 내부 함수로 일반화하여, $g$가 군 불변성 조건을 만족할 경우 $f \circ g^n$의 양자 통신 복잡도가 항상 $f$의 근사 차수 이상임을 보였다.
• 군 불변성 조건은 강한 균형 조건을 일반화한다: $G = \mathbb{Z}_2^t$일 경우 각 $g_i$가 강하게 균형 잡혀 있음을 동치로 한다.
• 이 프레임워크는 시-주의 복잡한 스펙트럼 이질성 조건을 표준적인 군 불변성 조건으로 대체하여 실용적으로 더 쉽게 검증할 수 있도록 한다.
• 아벨 군의 경우, 양자 통신 복잡도의 하한은 $Q(A) \geq \min_{S, \{\chi_i\}} \sum_{i \in S} \log_2 \frac{\sqrt{\mathrm{size}(M_{g_i})}}{\deg(\chi_i) \|M_{\chi_i \circ g_i}\|} - O(1)$로 표현되며, 여기서 $S$는 $|S| > \deg_{1/3}(f)$를 만족하는 인덱스 집합이다.
• 이 프레임워크는 임의의 유한 군 $G_i$에 대해 적용 가능하며, 곱 군의 경우로 일반화되며, 양자 복잡도 하한은 $g_i$의 표현 이론적 구조에 따라 달라진다.
• 결과적으로 이는 군 불변성 조건 하에서 $f$의 근사 차수가 $f \circ g^n$의 양자 통신 복잡도의 하한임을 암시하며, 대칭 함수와 내적 함수에 대한 기존 결과들을 확장한다.