[논문 리뷰] Compressed sensing with corrupted Fourier measurements

Dongcai Su|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 18.

Sparse and Compressive Sensing Techniques참고 문헌 7인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 희박한 신호 x₀와 오염된 노이즈 f₀를 푸리에 측정값 b = Ax₀ + f₀ 로부터 재가중 l1 최소화 방법을 제안한다. 여기서 f₀는 비영성분의 양의 비율을 가진다. n이 소수일 때, x₀에 대한 추가 가정 없이 희박성 조건만을 만족하면 m = O(card(x₀) log n log n) 이면 정확한 복원이 높은 확률로 가능하다고 증명한다.

ABSTRACT

This paper studies a data recovery problem in compressed sensing (CS), given a measurement vector b with corruptions: b=Ax0+f0, can we recover x0 and f0 via the reweighted l1 minimization: minimize |x| + lambda*|f| subject to Ax+f=b? Here the m by n measurement matrix A is a partial Fourier matrix, x0 denotes the n dimensional ground true signal vector, f0 denotes the m-dimensional corrupted noise vector, it is assumed that a positive fraction of entries in the measurement vector b are corrupted by the non-zero entries of f0. This problem had been studied in literatures [1-3], unfortunately, certain random assumptions (which are often hard to meet in practice) are required for the signal x0 in these papers. In this paper, we show that x0 and f0 can be recovered exactly by the solution of the above reweighted l1 minimization with high probability provided that m>O(card(x0)log(n)log(n)) and n is prime, here card(x0) denotes the cardinality (number of non-zero entries) of x0. Except the sparsity, no extra assumption is needed for x0.

연구 동기 및 목표

• 측정값 벡터의 일부 비율이 오염된 경우, 푸리에 측정값으로부터 희박한 신호를 복원하는 문제에 도전한다.
• 이전 연구에서 신호 x₀에 대해 강력하고 종종 비현실적인 랜덤 가정이 필요로 했던 한계를 극복한다.
• 희박성과 n의 소수성 외에 추가적인 가정 없이도 x₀와 f₀의 정확한 복원에 대한 이론적 보장을 제공한다.
• 신호의 구조적 요구 조건 없이, x₀의 희박성과 차원 n에만 의존하는 복원 조건을 설정한다.

제안 방법

• 복원 문제를 재가중 l1 최소화로 공식화: Ax + f = b 를 만족하는 조건 하에 ‖x‖₁ + λ‖f‖₁ 를 최소화한다.
• 측정 행렬로 부분 푸리에 행렬 A 를 사용하며, 이는 푸리에 도메인 샘플링을 모델링한다.
• 푸리에 행렬의 구조와 소수 차원의 성질을 활용하여 비일관성과 유리한 제한된 조화성 특성을 보장한다.
• 확률적 분석을 통해 주어진 조건 하에서 최적화 문제의 해가 x₀와 f₀를 높은 확률로 정확히 복원함을 보여준다.
• 집중 부등식과 랜덤 행렬 이론을 활용하여 복원 오차를 근사하고 필요한 샘플 복잡도를 확립한다.
• l1 노름의 희박성 촉진 성질을 향상시키기 위해 재가중 기법을 도입하여, 표준 l1 최소화보다 복원 성능을 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 신호에 희박성 외에 추가적인 구조적 가정이 없는 경우, 푸리에 측정값으로부터 희박한 신호와 오염된 노이즈의 정확한 복원이 가능할 수 있는가?
• RQ2 측정값의 일부 비율이 오염된 경우, 신뢰할 수 있는 복원을 위해 필요한 최소 측정 수는 얼마인가?
• RQ3 n의 소수성은 오염된 푸리에 측정값에서의 복원 보장에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 푸리에 도메인 측정값에서 심각한 오염이 존재할 경우, 재가중 l1 최소화 방법이 표준 l1 최소화보다 우월한 성능을 보일 수 있는가?
• RQ5 제안된 프레임워크 하에서 고확률 복원을 위해 필요한 이론적 샘플 복잡도는 얼마인가?

주요 결과

• 측정 수 m 가 m = O(card(x₀) log n log n) 를 만족할 경우, 희박한 신호 x₀와 오염된 노이즈 f₀ 를 높은 확률로 정확히 복원할 수 있다.
• 복원 보장 조건은 신호 x₀가 희박하고 n이 소수라는 유일한 가정 하에 성립하며, x₀에 대한 추가적인 구조적 또는 랜덤 가정은 필요 없다.
• 재가중 l1 최소화 방법은 측정값 벡터의 일부 비율이 오염된 경우에도 신호와 오염 성분을 성공적으로 분리한다.
• 이론적 샘플 복잡도는 신호 또는 노이즈의 다이내믹 레인지에 영향을 받지 않으며, 오직 희박성과 차원성에만 의존한다.
• 분석 결과, 소수 n을 가진 부분 푸리에 행렬은 제안된 최적화 프레임워크 하에서 안정적이고 강력한 복원을 지원함을 확인하였다.
• 이전 연구에서 신호에 대한 제한적인 가정을 제거함으로써, 알려지지 않은 신호 구조를 가진 실제 응용에 더 널리 적용 가능한 방법이 되었다.