[논문 리뷰] Compression functions of uniform embeddings of groups into Hilbert and Banach spaces

Goulnara Arzhantseva, Cornelia Druţu외 1명|ArXiv.org|2006. 12. 14.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 21인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 주어진 Hilbert 공간 압축 α ∈ [0,1]을 갖는 유한생성군을 구성하여 Guentner와 Niblo의 질문을 해결한다. 특정한 거리 임bedding을 갖는 군의 그래프 구조를 사용하여, 점근적 차원이 최대 2이고, 균일하게 볼록한 바나흐 공간 압축이 Hilbert 공간 압축과 일치하는 정확한 군을 얻는다. 이는 압축 0을 갖는 이러한 군의 첫 번째 예를 제공한다.

ABSTRACT

We construct finitely generated groups with arbitrary prescribed Hilbert space compression αfrom the interval [0,1]. For a large class of Banach spaces E (including all uniformly convex Banach spaces), the E-compression of these groups coincides with their Hilbert space compression. Moreover, the groups that we construct have asymptotic dimension at most 3, hence they are exact. In particular, the first examples of groups that are uniformly embeddable into a Hilbert space (respectively, exact, of finite asymptotic dimension) with Hilbert space compression 0 are given. These groups are also the first examples of groups with uniformly convex Banach space compression 0.

연구 동기 및 목표

• Guentner와 Niblo의 질문에 답하기 위해, 임의로 지정된 Hilbert 공간 압축 α ∈ [0,1]을 갖는 유한생성군을 구성하는 것.
• 균일하게 볼록한 바나흐 공간 E(이 경우 포함)의 광범위한 클래스에 대해, 이러한 군의 E-압축이 그들의 Hilbert 공간 압축과 일치함을 보여주는 것.
• 이 군들이 점근적 차원이 최대 2임을 보여주어, 이들이 정확하고 Hilbert 공간에 등장하는 유일한 임베딩을 갖는다는 것을 보여주는 것.
• 균일하게 볼록한 바나흐 공간 압축 0을 갖는 군의 첫 번째 예와, Hilbert 공간 압축 0을 갖는 정확한 군의 첫 번째 예를 제공하는 것.

제안 방법

• 정점 군이 M_k인 유한군인 군 G를 그래프의 군으로 구성하고, Bass-Serre 트리 위에 특정한 거리 구조를 사용하는 것.
• ρ가 가중치 함수인 하향성, 증가 함수인 함수일 때, ℓ²(Γ)로의 1-Lipschitz 사상 π: G → ℓ²(Γ)를 트리 위의 ρ-가중 거리 노름의 가중합으로 정의하는 것.
• Cauchy-Schwarz 부등식과 ρ의 하향성의 성질을 적용하여, π(g) − π(h)의 ℓ²-노름을 d_G(g,h)와 로그 인자에 대해 아래에서 유계함을 유도하는 것.
• 군 원소의 상대적 위치에 따라 경우를 나누어 (S 및 B 케이스) 임베딩의 왜곡에 하한을 구하는 것.
• 모든 유한생성 부분군의 점근적 차원이 ≤1임을 보이고, 그래프의 군에 대한 점근적 차원에 관한 알려진 정리들을 적용하여 G의 점근적 차원이 최대 2임을 증명하는 것.
• 구성된 군의 압축 갭이 ρ의 성장과 트리 위의 로그 가중 함수에 의해 제어됨을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의로 지정된 Hilbert 공간 압축 α ∈ [0,1]을 갖는 유한생성군을 구성할 수 있는가?
• RQ2 구성된 군들이 균일하게 볼록한 바나흐 공간 압축이 그들의 Hilbert 공간 압축과 일치하는가?
• RQ3 Hilbert 공간 압축 0을 갖는 정확한 군이 존재하는가? 만약 그렇다면, 이들은 유한한 점근적 차원을 갖는 방식으로 구성될 수 있는가?
• RQ4 이러한 군에서 압축 갭과 Bass-Serre 트리의 거리 구조 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 이러한 구성 방식을 사용하여 임의의 함수 f에 대해 (f/log x, f) 형태의 압축 갭을 갖는 군을 확장하여 생성할 수 있는가?

주요 결과

• 저자들은 모든 α ∈ [0,1]에 대해 정확히 α의 Hilbert 공간 압축을 갖는 유한생성군을 구성한다.
• 구성된 군들은 점근적 차원이 최대 2이므로, 정확하고 Hilbert 공간에 등장하는 유일한 임베딩을 갖는다.
• 모든 균일하게 볼록한 바나흐 공간 E에 대해, 이러한 군의 E-압축은 그들의 Hilbert 공간 압축과 일치한다.
• 이 군들은 Hilbert 공간 압축 0을 갖는 정확한 군이면서도 유한한 점근적 차원을 갖는 것으로 알려진 최초의 예이다.
• 이 구성은 균일하게 볼록한 바나흐 공간 압축 0을 갖는 군의 첫 번째 예를 제공한다.
• 구성된 군의 압축 갭은 로그 항을 포함하는 함수에 의해 아래에서 유계이며, 이는 임베딩에서의 거리 왜곡을 반영한다.