[논문 리뷰] Computability Theory of Closed Timelike Curves

Scott Aaronson, Mohammad Bavarian외 5명|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 18.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 드류의 폐쇄된 시간적 곡선(CTC)을 갖춘 튜링 기계의 계산 능력을 조사하며, 고전적 및 양자 CTC 컴퓨터가 휘어진 문제로 환원 가능한 문제를 정확히 해결할 수 있음을 보여준다. 핵심 결과는 CTC가 튜링 기계를 초월한 초계산을 가능하게 하며, 휘어진 문제는 이 모델의 완전한 오라클로 기능함을 보여준다. 이는 기계가 고전적인지 양자인지에 관계없이 동일하다.

ABSTRACT

We study the question of what is computable by Turing machines equipped with time travel into the past; i.e., with Deutschian closed timelike curves (CTCs) having no bound on their width or length. An alternative viewpoint is that we study the complexity of finding approximate fixed points of computable Markov chains and quantum channels of countably infinite dimension. Our main result is that the complexity of these problems is precisely $Δ_2$, the class of languages Turing-reducible to the Halting problem. Establishing this as an upper bound for qubit-carrying CTCs requires recently developed results in the theory of quantum Markov maps.

연구 동기 및 목표

• 폐쇄된 시간적 곡선(CTC)을 갖춘 고전적 및 양자 튜링 기계의 계산 이론적 능력을 규명하는 것.
• CTC가 튜링 장벽을 초월한 초계산을 가능하게 하는지 여부와, 그 정확한 계산 능력을 해결하는 것.
• 특히 크기 제약 조건이 없을 경우 드류의 CTC 모델에서 고정점 일致성의 역할을 분석하는 것.
• 드류의 모델과 후행 선택 기반 모델(Lloyd 등) 간의 CTC 계산 능력 비교.
• 무한 정규화 조건에서 양자 CTC 컴퓨터가 고전적 CTC 컴퓨터보다 더 높은 계산 능력을 가지는지 조사하는 것.

제안 방법

• 고정점 해를 통한 진화 연산자에 대한 확률적 일치 조건을 강제하는 드류의 CTC 모델을 채택하는 것.
• 함수해석학의 리즈 표현 정리를 사용하여 양자 CTC를 시뮬레이션하고, 계산 능력에서 고전적 CTC와의 동등성을 증명하는 것.
• 유한 고정점이 존재하지 않을 경우를 다루기 위해 무한 기하급수를 포함한 고정점 분포를 분석하는 것.
• 모든 CTC가 고정점을 생성할 수는 없지만, 고정점을 생성할 수 있는 부분집합이 무한 기하급수 고정점 분포를 통해 휘어진 문제를 해결하는 데 충분함을 증명하는 것.
• 계산 이론 및 복잡도 이론 기법을 적용하여 고전적 및 양자 CTC 컴퓨터가 $Δ_2^0$ 클래스의 문제를 정확히 해결할 수 있음을 보여주는 것, 즉 휘어진 문제 오라클에 따라 계산 가능한 문제들.
• 이전의 다항식 제약 조건이 있는 CTC 연구와 대비하여 분석을 확장하고, 무한 정규화 경우로 확장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 크기나 시간 제약 조건 없이 드류의 CTC를 장착한 고전적 또는 양자 튜링 기계가 어떤 문제를 해결할 수 있는가?
• RQ2 CTC의 존재가 초계산을 가능하게 하는가? 만약 그렇다면, 이러한 기계의 정확한 계산 능력은 무엇인가?
• RQ3 무한 정규화 조건에서 양자 CTC 컴퓨터는 고전적 CTC 컴퓨터보다 더 높은 계산 능력을 가지는가?
• RQ4 일부 CTC 진화에서 고정점이 존재하지 않을 경우, 이는 모델의 전체 계산 가능성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 크기 제약 조건이 없을 경우 후행 선택 기반 CTC 모델의 계산 능력은 무엇인가?

주요 결과

• CTC를 갖춘 컴퓨터는 휘어진 문제로 환원 가능한 문제를 정확히 해결할 수 있으며, 이는 산술 계층의 $Δ_2^0$ 클래스에 해당한다.
• 고전적 CTC 컴퓨터와 양자 CTC 컴퓨터는 동일한 계산 능력을 가진다: $\mathsf{Computable}_{\mathsf{CTC}} = \mathsf{QComputable}_{\mathsf{CTC}} = \mathsf{Computable}^{\mathsf{Halt}}$.
• 모든 CTC 진화에서 고정점이 존재하지 않더라도, 고정점을 생성할 수 있는 부분집합은 고정점 분포의 무한 기하급수를 통해 휘어진 문제를 해결하는 데 충분하다.
• 양자 CTC의 증명은 특히 리즈 표현 정리를 활용한 함수해석학의 고급 도구를 사용하여 혼합 상태 고정점을 시뮬레이션하는 데 의존한다.
• 다항식 제약 조건이 있는 CTC와는 달리, 무한 정규화 CTC는 휘어진 문제 오라클의 전체 능력을 제공한다.
• 후행 선택 기반 CTC 모델은 유한성 조건이 있을 경우 계산 가능한 언어만을 제공하지만, 조건이 없을 경우 휘어진 문제로 비적응적으로 환원 가능한 모든 언어를 제공한다.