[논문 리뷰] Computational Complexity of Covering Multigraphs with Semi-Edges: Small Cases

Jan Bok, Jiřı́ Fiala외 3명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 01.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 33인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 다중그래프에서 반변(semi-edges)이 포함된 그래프 커버링의 계산 복잡도 분석을 시작하며, 반변이 정점 매핑 외에 명시적 엣지 매핑을 요구하기 때문에 문제의 난이도를 크게 증가시킨다는 것을 보여준다. 반변이 포함된 한-정점 및 두 정점 다중그래프의 커버링 복잡도를 완전히 분류하여, 이조차도 이분 그래프 입력에 대해서도 NP-난이도임을 입증하고, 특정 조건(예: 한 정점 타겟에 대한 이분 입력)에서만 다항시간 해법이 존재함을 밝혀낸다.

ABSTRACT

We initiate the study of computational complexity of graph coverings, aka locally bijective graph homomorphisms, for graphs with semi-edges. The notion of graph covering is a discretization of coverings between surfaces or topological spaces, a notion well known and deeply studied in classical topology. Graph covers have found applications in discrete mathematics for constructing highly symmetric graphs, and in computer science in the theory of local computations. In 1991, Abello et al. asked for a classification of the computational complexity of deciding if an input graph covers a fixed target graph, in the ordinary setting (of graphs with only edges). Although many general results are known, the full classification is still open. In spite of that, we propose to study the more general case of covering graphs composed of normal edges (including multiedges and loops) and so-called semi-edges. Semi-edges are becoming increasingly popular in modern topological graph theory, as well as in mathematical physics. They also naturally occur in the local computation setting, since they are lifted to matchings in the covering graph. We show that the presence of semi-edges makes the covering problem considerably harder; e.g., it is no longer sufficient to specify the vertex mapping induced by the covering, but one necessarily has to deal with the edge mapping as well. We show some solvable cases and, in particular, completely characterize the complexity of the already very nontrivial problem of covering one- and two-vertex (multi)graphs with semi-edges. Our NP-hardness results are proven for simple input graphs, and in the case of regular two-vertex target graphs, even for bipartite ones. We remark that our new characterization results also strengthen previously known results for covering graphs without semi-edges, and they in turn apply to an infinite class of simple target graphs with at most two vertices of degree more than two. Some of the results are moreover proven in a more general setting (e.g., finding k-tuples of pairwise disjoint perfect matchings in regular graphs, or finding equitable partitions of regular bipartite graphs).

연구 동기 및 목표

• 반변(한 정점에만 연결되는 간선)을 포함하는 다중그래프에서 그래프 커버링의 계산 복잡도를 연구하기 시작하는 것 — 이는 위상수학적 그래프 이론과 수학적 물리학에서 점점 더 중요해지고 있음.
• 기존의 엣지만 있는 그래프와 비교하여 반변이 그래프 커버링 문제의 복잡도에 어떤 영향을 미치는지 조사하는 것 — 특히 정점 매핑 외에 엣지 매핑이 반드시 필요해지는 점을 중심으로.
• 반변이 포함된 다중그래프에 대해 최대 두 정점인 그래프 커버링의 계산 복잡도를 완전히 분류하는 것.
• 반변이 없는 경우에 대한 기존 결과를 강화하여, 최대 두 개의 차수 >2인 정점을 가진 단순 타겟 그래프의 무한한 클래스에 대해 새로운 특성화가 적용됨을 보여주는 것.
• 그래프 커버링과 엣지 색칠 문제 간의 연결 고리 탐색 — 특히 감소 과정에서 (b,b)-색칠법을 사용함.

제안 방법

• 3-SAT에서 감소를 통해, 원래의 3-SAT 공식이 만족 가능할 때이고 그때만 그래프 G가 (b,b)-색칠이 가능한 그래프 G를 구성함 — 변수 및 절 가젯을 특정한 정점 및 간선 구조로 설계함.
• 각 변수당 2b+2개의 정점으로 구성된 변수 가젯 설계 — K1 및 K2 부분그래프를 통해 연결되며, 변수의 모든 발생에서 색상 일관성이 구조적 제약 조건에 의해 보장됨.
• 각 절 가젯에서 더 작은 부분의 각 정점의 차수를 2b로 설정함으로써, 절에 정확히 b개의 변수가 참으로 설정되어 있을 때에만 정확히 b개의 빨간색 및 파란색 이웃이 존재하도록 보장함.
• (b,b)-색칠을 유효한 커버링 프로젝션의 대체 수단으로 사용함 — 색상 할당이 커버링 그래프의 엣지 및 정점 매핑에 해당함.
• 모순에 의한 증명을 통해, 유효한 (b,b)-색칠에서 변수의 모든 발생이 동일한 색상을 가져야 한다는 것을 입증함 — 이웃 제약 조건과 차수 균형을 활용함.
• 결과를 더 넓은 설정으로 일반화함 — 정규 그래프에서 k개의 상호소거 페어 매칭 튜플이 존재하는지 여부를 포함함 — 이는 주요 복잡도 주장에 기여함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반변의 포함 여부가 기존의 엣지만 있는 그래프와 비교할 때 그래프 커버링 문제의 계산 복잡도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 반변이 허용되는 경우, 한 정점 및 두 정점 다중그래프 커버링의 계산 복잡도는 어떠한가?
• RQ3 반변의 존재가 이분 그래프 입력일지라도 커버링 문제를 NP-난이도로 만들 수 있는가?
• RQ4 반변이 있는 커버링 문제의 다항시간 해법이 가능한지에 대한 구조적 또는 조합적 특성화는 존재하는가?
• RQ5 반변이 없는 경우에 대한 결과들이 반변이 있는 경우로 얼마나 일반화될 수 있는가 — 특히 복잡도 분류 측면에서.

주요 결과

• 반변이 포함된 한 정점 다중그래프 커버링 문제는 입력 그래프가 이분일 경우 다항시간 내에 해결 가능하지만, 일반적으로는 NP-난이도이다.
• 반변이 포함된 두 정점 타겟 다중그래프의 경우, 입력 그래프의 이분성 조건이 가용성을 보장하지 못하며, 정규 이분 입력일지라도 문제의 난이도는 여전히 NP-난이도이다.
• 논문은 반변이 포함된 한 정점 및 두 정점 다중그래프 커버링의 복잡도를 완전히 분류하여, 더 넓은 커버링 문제 계층에서 비트리비얼한 케이스를 해결함.
• 간단한 입력 그래프에 대해서도 커버링 문제의 NP-난이도가 입증되었으며, 특히 정규 두 정점 타겟의 경우 이분 입력에 대해서도 난이도가 유지됨.
• 구성된 그래프 G에서의 (b,b)-색칠 특성화는 유효한 커버링 프로젝션과 이원적 대응 관계를 형성함 — 이는 3-SAT 문제에서 커버링 문제로의 감소를 가능하게 함.
• 반변이 없는 경우에 대한 이전 결과를 강화하여, 최대 두 개의 차수 >2인 정점을 가진 단순 타겟 그래프의 무한한 클래스에 대해 적용 가능함을 보여줌.