[논문 리뷰] Computer Algebra Algorithms for Special Functions in Particle Physics

Jakob Ablinger|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 03.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 62인용 수 118

한 줄 요약

이 논문은 양자장론의 고차 다항계산에서 자주 나타나는 중첩 합과 반복적 적분—예를 들어 조화합, S-합, 조화다이로그함수, 다중다이로그함수 등—을 다루기 위한 고급 기계대수 알고리즘을 제시한다. 이들 대상 간의 대수적이고 구조적인 관계를 수립하고, 점점 커지는 전개 및 원형 S-합으로의 변환 알고리즘을 개발하며, 이를 HarmonicSums 및 MultiIntegrate 패키지에 구현하여 입자물리학의 앰리튜드에서 효율적인 기호 계산을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This work deals with special nested objects arising in massive higher order perturbative calculations in renormalizable quantum field theories. On the one hand we work with nested sums such as harmonic sums and their generalizations (S-sums, cyclotomic harmonic sums, cyclotomic S-sums) and on the other hand we treat iterated integrals of the Poincaré and Chen-type, such as harmonic polylogarithms and their generalizations (multiple polylogarithms, cyclotomic harmonic polylogarithms). The iterated integrals are connected to the nested sums via (generalizations of) the Mellin-transformation and we show how this transformation can be computed. We derive algebraic and structural relations between the nested sums as well as relations between the values of the sums at infinity and connected to it the values of the iterated integrals evaluated at special constants. In addition we state algorithms to compute asymptotic expansions of these nested objects and we state an algorithm which rewrites certain types of nested sums into expressions in terms of cyclotomic S-sums. Moreover we summarize the main functionality of the computer algebra package HarmonicSums in which all these algorithms and transformations are implemented. Furthermore, we present application of and enhancements of the multivariate Almkvist-Zeilberger algorithm to certain types of Feynman integrals and the corresponding computer algebra package MultiIntegrate.

연구 동기 및 목표

• 다른 양자장론의 질량이 있는 고차 다항계산에서 중첩합과 반복적 적분을 다루기 위한 기호 알고리즘을 개발하는 것.
• 조화합, S-합 등의 중첩합과 그 무한대에서의 값, 그리고 조화다이로그함수와 같은 반복적 적분 간의 대수적이고 구조적인 관계를 수립하는 것.
• 고에너지물리학 응용을 위한 이러한 특수함수의 효율적인 점점 커지는 전개 계산을 가능하게 하는 것.
• HarmonicSums 및 MultiIntegrate 기계대수 패키지에 모든 알고리즘을 구현하여 입자물리학의 앰리튜드에서 실용적으로 사용할 수 있도록 하는 것.
• 특정 클래스의 파인먼 적분을 기호적으로 평가하기 위해 다변수 알름키스트-자일버거 알고리즘을 확장하는 것.

제안 방법

• 포이카르에 및 켄 유형의 반복적 적분과 중첩합을 연결하기 위해 멜린 변환 및 그 일반화를 활용한다.
• 차분 및 미분방정식을 사용하여 조화합과 다중다이로그함수 간의 대수적이고 구조적인 항등식을 유도한다.
• 순환적 일반화를 포함한 중첩합과 다중다이로그함수의 이론을 활용하여 물리적 앰리튜드를 모델링한다.
• 階乗급수와 확장된 조화다이로그함수를 사용하여 점점 커지는 전개 알고리즘을 개발한다.
• 일부 중첩합을 원형 S-합으로 표현하는 데에 유리한 표현을 단순화하기 위해 변환 알고리즘을 도입한다.
• 특정 다변수 초함수 유형의 파인먼 적분을 처리할 수 있도록 다변수 알름키스트-자일버거 알고리즘을 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 멜린 변환을 통해 조화합, S-합 등의 중첩합이 조화다이로그함수와 같은 반복적 적분과 체계적으로 어떻게 연결될 수 있는가?
• RQ2 중첩합과 그 무한대에서의 값 사이에 존재하는 대수적이고 구조적인 항등식은 무엇이며, 반복적 적분의 특수상수와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 고에너지물리학 계산에서 중첩합과 다이로그함수의 효율적인 점점 커지는 전개를 가능하게 하는 알고리즘적 방법은 무엇인가?
• RQ4 어떤 중첩합이 원형 S-합을 포함하는 표현으로 변환되어 기호 계산의 복잡성을 줄일 수 있는가?
• RQ5 다변수 알름키스트-자일버거 알고리즘은 어떤 식으로 특정 클래스의 파인먼 적분을 기호적으로 평가하기 위해 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 멜린 변환은 중첩합과 반복적 적분 간의 체계적인 다리를 제공하여 물리적 앰리튜드의 기호 평가를 가능하게 한다.
• 조화합과 다이로그함수 간의 대수적 및 미분관계가 유도되었으며, 이는 매개변수 변환 하에서의 배치 및 함수 항등식을 포함한다.
• 階乗급수와 확장된 조화다이로그함수를 사용하여 조화합과 다중다이로그함수의 점점 커지는 전개가 계산되었으며, 명시적인 수렴 행동이 확립되었다.
• 일부 중첩합을 원형 S-합 표현으로 재작성하는 변환 알고리즘이 구현되어 복잡도를 감소시키고 계산 효율성을 향상시켰다.
• HarmonicSums 패키지는 모든 핵심 알고리즘을 성공적으로 구현하여 양자장론에서 특수함수의 자동 기호 계산을 가능하게 하였다.
• 향상된 다변수 알름키스트-자일버거 기법을 기반으로 한 MultiIntegrate 패키지는 기호 매개변수를 가진 다중루프 파인먼 적분을 평가하기 위한 체계적인 접근을 제공한다.