[논문 리뷰] Computing control invariant sets is easy

Mirko Fiacchini, Mazen Alamir|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 16.

Aerospace Engineering and Control Systems인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 선형 시스템의 상태 및 입력 제약 조건이 있는 제어 불변 집합을 계산하기 위한 새로운 방법을 제시한다. N단계 집합 포함 조건을 명시적인 민코프스키 합 계산을 피하는 선형계획법(LP) 타당성 문제로 재구성함으로써, 계산 비용이 매우 높은 민코프스키 합을 회피한다. 이 방법은 고차원 제어 불변 집합을 효율적이고 확장 가능하게 계산할 수 있게 하며, 15단계 예측 수평선을 사용하여 20상태, 10입력 시스템의 최대 불변 집합을 2초 이내에 근사화함으로써 성능을 입증하였다.

ABSTRACT

In this paper we consider the problem of computing control invariant sets for linear controlled systems with constraints on the input and on the states. We focus in particular on the complexity of the computation of the N-step operator, given by the Minkowski addition of sets, that is the basis of many of the iterative procedures for obtaining control invariant sets. Set inclusions conditions for control invariance are presented that involve the N-step sets and are posed in form of linear programming problems. Such conditions are employed in algorithms based on LP problems that allow to overcome the complexity limitation inherent to the set addition and can be applied also to high dimensional systems. The efficiency and scalability of the method are illustrated by computing in less than two seconds an approximation of the maximal control invariant set, based on the 15-step operator, for a system whose state and input dimensions are 20 and 10 respectively.

연구 동기 및 목표

• 고차원 선형 시스템에서 N단계 제어 불변 집합을 위한 민코프스키 합의 명시적 계산으로 인한 계산 복잡도 문제를 해결한다.
• 일단계 뒤로 이동 연산자와 민코프스키 덧셈에 기반한 전통적인 반복 방법의 확장성 한계를 극복한다.
• 정확도와 최대 제어 불변 집합으로의 수렴을 유지하면서도 명시적인 집합 덧셈을 피하는 방법을 개발한다.
• 이전 방법들이 계산적으로 비가능하여 실패하는 고차원 시스템(예: 20상태, 10입력)에 대한 제어 불변 집합 계산의 실용적 적용을 가능하게 한다.
• 기존의 다각형 복잡도를 고정하거나 타원체 근사법을 사용하는 방법에 비해 확장 가능하고 보수적이지 않은 대안을 제공한다.

제안 방법

• 민코프스키 합 계산을 피하기 위해, 제어 불변 조건을 N단계 도달 가능 집합을 포함하는 집합 포함 조건으로 재구성한다.
• 불변 조건을 선형계획법(LP) 타당성 문제로 재구성하여 고차원에서도 계산 가능하게 한다.
• 제어 불변 집합을 k단계 집합의 볼록결합으로 구성하며, 선형부등식계로 표현한다.
• 전체 민코프스키 합을 계산하지 않고도 후보 집합이 제어 불변인지 확인하기 위해 LP 기반 조건을 활용한다.
• 블록 대각형 시스템의 구조를 활용하여 고차원 문제를 더 작은 관리 가능한 부분문제로 분해한다.
• 표준 최적화 도구(YALMIP 및 MOSEK)를 사용하여 LP 문제를 효율적으로 해결함으로써 알고리즘을 구현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 민코프스키 합의 명시적 평가 없이도 제어 불변 집합 알고리즘에서 N단계 집합 계산의 계산 복잡도를 줄일 수 있는가?
• RQ2 민코프스키 합 연산의 NP-난이도를 피하는 집합 포함 조건을 통해 제어 불변성을 검증할 수 있는가?
• RQ3 고차원 선형 시스템에서 기존의 민코프스키 합 기반 반복 방법을 대체할 수 있는 LP 기반 공식화가 가능한가?
• RQ4 이러한 방법은 높은 상태 및 입력 차원을 가진 시스템에 대해 얼마나 확장 가능한가?
• RQ5 기존의 타원체나 고정 복잡도 다각형 근사법에 비해 이 방법은 얼마나 보수적인가?

주요 결과

• 제안된 방법은 15단계 예측 수평선을 사용하여 20상태, 10입력 선형 시스템의 최대 불변 집합에 대한 외부 근사치를 2초 이내에 계산한다.
• LP 기반 접근법은 효율적으로 확장되며, 해의 시간이 선형적으로 증가하는 것에 비해 상대적으로 적게 증가한다: N=3일 때 0.9초, N=15일 때 1.71초이며, LP 차원은 10,002에서 115,602로 선형 증가한다.
• 외부 근사치와 진짜 최대 불변 집합 간의 비율(rΩ/rΣ)은 N이 증가함에 따라 1.0에 수렴하며, 이는 낮은 보수성임을 나타낸다. 예를 들어 N=15일 때 90%의 반사선에서 rΩ/rΣ > 0.9를 기록한다.
• 민코프스키 합 계산의 NP-복잡도를 피하기 위해 불변 조건을 LP 타당성 문제로 재구성함으로써 이를 해결한다.
• 블록 대각형 시스템의 성질을 활용하여 고차원 시스템에 적용 가능함을 입증하였으며, 이는 10×2D 블록 대각형 시스템에서 최대 불변 집합이 부분시스템 집합의 카르테시안 곱임을 보여준다.
• 알고리즘은 원점을 시작점으로 삼아 최대 제어 불변 집합으로 수렴하며, LP 재구성 덕분에 계산 가능성을 유지한다.