[논문 리뷰] Computing downward closures for stacked counter automata

Georg Zetzsche|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 28.

semigroups and automata theory인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 스택형 컨터 자동기—푸시다운 및 블라인드 컨터 자동기의 일반화된 클래스—에 대해 모든 부분어를 포함하는 언어의 정규 추상화인 내림차순 폐쇄를 계산하는 방법을 제시한다. 주요 기여는 내림차순 폐쇄의 효과적 계산과 교차하는 선형 제약 조건과 대수적 확장을 반복하는 언어 계층의 엄격성 증명을 가능하게 하는 새로운 기법인 페르크 애너테이션을 도입한 것이다.

ABSTRACT

The downward closure of a language $L$ of words is the set of all (not necessarily contiguous) subwords of members of $L$. It is well known that the downward closure of any language is regular. Although the downward closure seems to be a promising abstraction, there are only few language classes for which an automaton for the downward closure is known to be computable. It is shown here that for stacked counter automata, the downward closure is computable. Stacked counter automata are finite automata with a storage mechanism obtained by \emph{adding blind counters} and \emph{building stacks}. Hence, they generalize pushdown and blind counter automata. The class of languages accepted by these automata are precisely those in the hierarchy obtained from the context-free languages by alternating two closure operators: imposing semilinear constraints and taking the algebraic extension. The main tool for computing downward closures is the new concept of Parikh annotations. As a second application of Parikh annotations, it is shown that the hierarchy above is strict at every level.

연구 동기 및 목표

• 일반적으로 결정 가능하지 않은 복잡한 자동기 클래스에 대해 내림차순 폐쇄를 계산하는 데 도전하는 것.
• 내림차순 폐쇄가 스택형 컨터 자동기—푸시다운 및 블라인드 컨터 자동기의 일반화된 클래스—에서 계산 가능하다는 것을 입증하는 것.
• 제안된 방법을 사용하여 교차하는 선형 제약 조건과 대수적 확장을 반복하는 언어 계층의 엄격성을 입증하는 것.
• 형식 언어 이론에서 내림차순 폐쇄의 분석과 계산을 위한 새로운 이론적 도구—페르크 애너테이션—을 제공하는 것.

제안 방법

• 복잡한 저장 구조를 가진 자동기에서 단어의 페르크 이미지를 추적하고 조작하기 위한 페르크 애너테이션을 도입하는 것.
• 페르크 애너테이션을 사용하여 스택형 컨터 자동기로 수락되는 언어의 내림차순 폐쇄를 나타내는 유한 자동기를 구성하는 것.
• 페르크 애너테이션의 개념을 적용하여 교차하는 선형 제약 조건과 대수적 확장을 반복하는 언어 계층이 모든 수준에서 엄격함을 증명하는 것.
• 형식 문법과 관련된 유도 트리의 구조를 분석하기 위해 사상과 유계 유도 트리를 사용하는 것.
• 증명의 모순 기법에서 모순을 이끌어내기 위해 언어 클래스의 폐쇄 성질—합집합 폐쇄 및 완전 반아프라프(AFL) 성질—을 활용하는 것.
• 유도 트리의 구조와 페르크 이미지 간의 관계를 설정하고 단어 생성에 제약 조건을 강제하기 위해 k-버스트 문법(k-bursting grammars)의 개념을 사용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스택형 컨터 자동기—중첩 스택과 블라인드 컨터를 갖는 자동기의 클래스—에 대해 내림차순 폐쇄를 효과적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 교차하는 선형 제약 조건과 대수적 확장을 반복하는 언어 계층이 모든 수준에서 엄격한가?
• RQ3 페르크 애너테이션은 형식 언어 클래스에서 내림차순 폐쇄를 분석하고 계산하는 데 일반적인 도구로 사용될 수 있는가?
• RQ4 이 계층의 언어에 대한 문법에서 페르크 이미지와 유도 트리의 구조 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 일부 언어 클래스에서는 관련 시스템의 도달 가능성 문제가 결정 불가능하더라도 내림차순 폐쇄가 계산 가능한가?

주요 결과

• 내림차순 폐쇄는 스택형 컨터 자동기에서 계산 가능하며, 문맥 자유 언어 및 페트리 넷 언어에 대한 기존 결과를 확장한다.
• 페르크 애너테이션은 복잡한 저장 메커니즘을 가진 자동기에서 내림차순 폐쇄를 계산하는 데 있어 새로운 효과적인 방법을 제공한다.
• 교차하는 선형 제약 조건과 대수적 확장을 반복하는 언어 계층은 페르크 애너테이션을 사용하여 모든 수준에서 엄격함이 입증된다.
• 모든 언어의 내림차순 폐쇄는 정규 언어이며, 본 논문은 스택형 컨터 자동기의 경우 이러한 폐쇄를 나타내는 유한 자동기를 효과적으로 구성할 수 있음을 보여준다.
• 엄격성의 증명은 하위 계층에서 포괄될 수 없는 언어를 구성함으로써 이루어지며, 이는 유도 트리의 성질과 페르크 이미지 제약 조건을 활용한다.
• 이 방법은 특정 부분 알파벳과 사상에 제한된 경우에도 계층의 하위 수준의 문법으로 생성될 수 없는 언어들이 있음을 밝혀낸다.