[논문 리뷰] Computing endomorphism rings of Jacobians of genus 2 curves over finite fields

David Freeman, Kristin Lauter|ArXiv.org|2007. 01. 10.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위의 종수 2 곡선의 야코비안의 내적환을 계산하기 위한 효율적인 확률적 알고리즘을 제시하며, 이는 아이줄라 클래스 다항식을 계산하는 아이젠트라어와 로터의 중국인의 나머지 정리(CRT) 알고리즘을 위한 첫 번째 실용적 구현을 가능하게 한다. 놀랍게도 내적환 계산은 성능 저하 요인이 아니며, 메스트의 알고리즘을 통해 $p^3$개의 곡선을 생성하는 것이 실행 시간을 지배한다. 내적환 검증은 수천 개의 곡선에 대해서도 단 몇 초 밖에 걸리지 않는다.

ABSTRACT

We present algorithms which, given a genus 2 curve $C$ defined over a finite field and a quartic CM field $K$, determine whether the endomorphism ring of the Jacobian $J$ of $C$ is the full ring of integers in $K$. In particular, we present probabilistic algorithms for computing the field of definition of, and the action of Frobenius on, the subgroups $J[\ell^d]$ for prime powers $\ell^d$. We use these algorithms to create the first implementation of Eisenträger and Lauter's algorithm for computing Igusa class polynomials via the Chinese Remainder Theorem \cite{el}, and we demonstrate the algorithm for a few small examples. We observe that in practice the running time of the CRT algorithm is dominated not by the endomorphism ring computation but rather by the need to compute $p^3$ curves for many small primes $p$.

연구 동기 및 목표

• 유한체 위의 종수 2 곡선 야코비안의 내적환을 계산하기 위한 실용적 알고리즘을 개발하는 것.
• 아이젠트라어와 로터의 CRT 기반 알고리즘을 통한 아이줄라 클래스 다항식 계산을 구현하고 테스트하는 것.
• 종수 2 클래스 다항식 계산에서 내적환 계산이 성능 저하 요인이 될 것이라는 오랫동안 지속된 가정을 해결하는 것.
• 실제로 곡선 생성이 내적환 검증보다 실행 시간을 지배한다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 주어진 원시 4차 CM 체 $K$의 정수환 전체가 되는지 여부를 검증하기 위해 확률적 알고리즘을 사용한다.
• 각 곡선에 대해 프로베누스 내적환과 그 복소수 켤레(버슈비징)를 결정하여 후보 내적환을 식별한다.
• 형태 $\frac{\pi^k - 1}{\ell}$ 또는 $\frac{h_i(\pi)}{\ell^d}$인 원소 $\alpha_i$의 집합을 구성하며, 여기서 $h_i$는 삼차다항식이다. 이들로 $\mathcal{O}_K$를 생성한다.
• 각 $\alpha_i$가 내적환인지 여부를 $J[\ell^d]$의 정의 체를 계산하고 $\ell$- torsion 점들 위에서의 작용을 검증함으로써 검증한다.
• 알고리즘 4.3과 5.1을 적용하여 $\mathbb{F}_{p^k}$에서의 점 수 계산을 통해 $\frac{\pi^k - 1}{\ell}$ 및 $\frac{h_i(\pi)}{\ell^d}$ 형식의 원소들이 내적환인지 여부를 판단한다.
• 다양한 소수 $p$에 대해 모듈로 $p$ 데이터를 이용해 중국인의 나머지 정리를 적용하여 아이줄라 클래스 다항식을 재구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 종수 2 CRT 알고리즘에서 아이줄라 클래스 다항식 계산에 있어 내적환 계산이 주요 성능 저하 요인인가?
• RQ2 확률적 알고리즘이 원시 4차 CM 체 $K$의 정수환 전체가 되는지 여부를 효율적으로 판단할 수 있는가?
• RQ3 CRT 알고리즘에서 내적환 계산의 실행 시간과 곡선 생성 단계의 실행 시간을 비교하면 어떻게 되는가?
• RQ4 $J[\ell^d]$의 정의 체는 내적환의 구조를 검증하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 특히 $k$가 $\ell^3$이 아니라 $\ell^2$로 제한될 때, 알고리즘 4.3과 5.1의 이론적 및 실질적 실행 시간이 $\ell$과 $k$에 따라 어떻게 스케일링되는가?

주요 결과

• $K = \mathbb{Q}(i\sqrt{13+2\sqrt{13}})$ 및 $p=157$의 경우, $157^3$개의 곡선 생성에 약 52분이 소요되었고, 243개 곡선의 내적환 검증은 단 16.5초 밖에 걸리지 않았다.
• $K = \mathbb{Q}(i\sqrt{29+2\sqrt{29}})$ 및 $\lambda_i = 5^{12}$의 예시에서 전체 알고리즘이 56,585초(~15.7시간) 동안 실행되었으며, 곡선 생성과 내적환 검증 모두 기여도가 높았다.
• 내적환 계산 단계는 곡선 생성에 비해 무시무시할 정도로 낮았다. $p=157$일 때 곡선 생성은 3147초, 내적환 검증은 단 16.5초였다.
• $p=199$일 때 곡선 생성은 106분이었고, 내적환 검증은 1355.3초였다. 이는 곡선 생성이 여전히 주요 비용 요소임을 시사한다.
• 이론적 분석에 따르면, 비분해 또는 분해되는 소수 $\ell$를 제외할 경우, $k$를 $\ell^3$에서 $\ell^2$로 줄임으로써 알고리즘 4.3과 5.1의 실행 시간이 $O(p^{12}\log^3 p)$에서 $O(p^8\log^3 p)$로 향상됨을 보여준다.
• 자료는 $[\mathcal{O}_K : \mathbb{Z}[\pi, \overline{\pi}]]$의 인덱스를 나누는 홀수 소수들은 반드시 $K_0$에서 분해되거나 $[\mathcal{O}_{K_0} : \mathbb{Z}[\pi + \overline{\pi}]]$의 인덱스를 나누며, 이는 비분해 또는 완전 분해되지 않는다는 것을 의미한다.