[논문 리뷰] Computing K-theory and Ext for graph C*-algebras

D. Drinen, Mark Tomforde|ArXiv.org|2001. 03. 06.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 4인용 수 46

한 줄 요약

이 논문은 임의의 가чёт한 방향 그래프에 대한 C*-대수의 K-이론과 Ext 군을 계산하며, 기존의 행 유한 그래프에 대한 결과를 일반화하기 위해 desingularization을 사용한다. 주요 기여는 그래프 C*-대수의 K-이론과 Ext가 전치 정점 행렬에 의해 정의되는 사상의 상사상과 핵에 의해 결정됨을 보여주는 것으로, $ C^*(E_A) $가 항상 Exel-Laca 대수 $ \mathcal{O}_A $와 Morita 동치가 되는 것은 아니며, 그마저도 부분대수임을 보여준다.

ABSTRACT

K-theory and Ext are computed for the C*-algebra C*(E) of any countable directed graph E. The results generalize the K-theory computations of Raeburn and Szymanski and the Ext computations of Tomforde for row-finite graphs. As a consequence, it is shown that if A is a countable {0,1} matrix and E_A is the graph obtained by viewing A as a vertex matrix, then C*(E_A) is not necessarily Morita equivalent to the Exel-Laca algebra O_A.

연구 동기 및 목표

• 가чёт한 방향 그래프로의 그래프 C*-대수의 K-이론과 Ext 계산을 행 유한 그래프에서 일반화한다.
• Raeburn과 Szymański가 제기한 그래프 C*-대수 $ C^*(E_A) $와 Exel-Laca 대수 $ \mathcal{O}_A $ 사이의 관계에 대한 질문을 해결한다.
• $ C^*(E_A) $가 부분대수이지만 항상 $ \mathcal{O}_A $와 Morita 동치가 되지 않음을 보여준다.
• K-이론과 Ext가 Morita 동치에 대해 안정적임을 확립하고, desingularization을 통해 계산 가능함을 보여준다.

제안 방법

• 모든 그래프 $ E $를 행 유한이면서 특이점이 없는 그래프 $ F $로 변환하는 desingularization을 사용하여 $ C^*(E) $가 $ C^*(F) $와 Morita 동치임을 보인다.
• 전치 정점 행렬에 의해 정의되는 사상의 핵과 상사상을 보존한다는 기술적 보조정리를 증명한다.
• 행 유한 그래프에 대한 기존 결과를 $ F $에 적용한 후, K-이론과 Ext의 안정성에 의해 결과를 $ E $로 다시 이전한다.
• 특이점은 고갈점 또는 무한한 간선을 내보내는 정점으로 정의하고, 정점 행렬 $ A_E $를 블록 $ B $와 $ C $로 분해한다.
• $ K_0(C^*(E)) $를 $ \begin{pmatrix} B^t - I \\ C^t \end{pmatrix} $의 상사상으로 계산하고, $ K_1(C^*(E)) $를 동일한 사상의 핵으로 계산한다.
• 조건 (L)을 만족하는 그래프에 대해, $ \operatorname{Ext}(C^*(E)) $를 동일한 행렬 분해를 사용하여 $ (B - I \; C) $의 상사상으로 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비행 유한 그래프에 대해 정점 행렬을 사용하여 그래프 C*-대수 $ C^*(E) $의 K-이론을 계산할 수 있는가?
• RQ2 조건 (L)을 만족할 때, 비행 유한 그래프에 대해 $ C^*(E) $의 Ext 군은 여전히 계산 가능한가?
• RQ3 $ A $가 {0,1}-행렬이고 $ E_A $가 해당 그래프일 때, 그래프 C*-대수 $ C^*(E_A) $는 항상 Exel-Laca 대수 $ \mathcal{O}_A $와 Morita 동치인가?
• RQ4 desingularization은 원래 그래프 대수의 K-이론과 Ext 불변량을 유지하는가?
• RQ5 $ C^*(E_A) \subseteq \mathcal{O}_A $임을 고려할 때, $ C^*(E_A) $와 $ \mathcal{O}_A $ 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 가чёт한 방향 그래프 $ E $에 대해, $ K_0(C^*(E)) \cong \operatorname{coker}\begin{pmatrix} B^t - I \\ C^t \end{pmatrix} $이며, 여기서 $ B $와 $ C $는 특이점과 비특이점 정점에 대한 정점 행렬의 블록이다.
• 동일한 그래프에 대해 $ K_1(C^*(E)) \cong \ker\begin{pmatrix} B^t - I \\ C^t \end{pmatrix} $이며, 동일한 행렬 분해를 사용한다.
• 만약 $ E $가 조건 (L)을 만족한다면, $ \operatorname{Ext}(C^*(E)) \cong \operatorname{coker}(B - I \; C) $이며, 이 행렬은 곱군에 작용한다.
• 모든 $ E $의 정점이 특이점일 경우(고갈점 또는 무한 발산자), $ K_0(C^*(E)) \cong \bigoplus_{E^0} \mathbb{Z} $이며, $ K_1(C^*(E)) \cong \{0\} $이며, $ \operatorname{Ext}(C^*(E)) \cong \{0\} $이다.
• Raeburn와 Szymański의 예제에서 행렬 $ A $에 대해 $ K_0(C^*(E_A)) \cong \{0\} $, $ K_1(C^*(E_A)) \cong \{0\} $이지만, $ K_1(\mathcal{O}_A) \cong \mathbb{Z} $이므로 $ C^*(E_A) $가 $ \mathcal{O}_A $와 Morita 동치가 아니라는 것을 증명한다.
• $ C^*(E_A) $가 순수하게 무한하고 단순하며 분리 가능하고 핵심적이며 K-이론이 자명하므로, $ \mathcal{O}_2 $와 Morita 동치이며, 안정적이므로 $ C^*(E_A) \cong \mathcal{O}_2 \otimes \mathcal{K} $이다.