[论文解读] Comultiplicativity of the Ozsvath-Szabo contact invariant

John A. Baldwin|ArXiv.org|Feb 21, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用 12

一句话总结

本文在Heegaard Floer同调的Ozsváth-Szabó接触不变量上建立了共乘法结构，表明当两个因子的不变量均非零时，开书单值变换组合的不变量也非零。该结果表明紧致性（或可填充性）在单值变换组合下保持不变，并通过基于$HF^+$的不变量扩展至对L-空间和平面开书的障碍。

ABSTRACT

Suppose that S is a surface with boundary and that g and h are diffeomorphisms of S which restrict to the identity on the boundary. Let Y_g, Y_h, and Y_{hg} be the three-manifolds with open book decompositions given by (S,g), (S,h), and (S,hg), respectively. We show that the Ozsvath-Szabo contact invariant is natural under a comultiplication map on Heegaard Floer homology. It follows that if the contact invariants associated to the open books (S, g) and (S, h) are non-zero then the contact invariant associated to the open book (S, hg) is also non-zero. We extend this comultiplication to a map on HF^+, and as a result we obtain obstructions to the three-manifold Y_{hg} being an L-space. We also use this to find restrictions on contact structures which are compatible with planar open books.

研究动机与目标

• 建立由开书分解产生的三维流形的Heegaard Floer同调上的共乘法映射。
• 证明当$c(S, g)$和$c(S, h)$均非零时，接触不变量$c(S, hg)$也非零，从而表明紧致性/可填充性在组合下保持不变。
• 将共乘法结构扩展至$HF^+$，并利用它推导$Y_{hg}$不是L-空间或不支持平面开书的障碍。
• 利用$c^+$不变量和自旋$^c$结构，提供新的关于Stein可填充性和平面相容性的障碍。

提出的方法

• 构造一个边界为$-Y_g - Y_h + Y_{hg}$的cobordism $X_{g,h}$，诱导一个链映射$m: \t{CF}(Y_g) \t{CF}(Y_h) \to \t{CF}(Y_{hg})$。
• 应用$\t{Hom}_{\t{Z}_2}(-, \t{Z}_2)$函子，得到一个共乘法映射$\mu: \t{CF}(-Y_{hg}) \to \t{CF}(-Y_g) \otimes \t{CF}(-Y_h)$。
• 证明在同调上诱导的映射$\tilde{\mu}$满足$\tilde{\mu}(c(S, hg)) = c(S, g) \otimes c(S, h)$，从而证明共乘法性。
• 将共乘法结构扩展至$HF^+$，利用自然映射$\widehat{HF} \to HF^+$定义$c^+$，并分析其在$U^d \cdot HF^+$中的像。
• 利用$HF^+$上的共乘法结构推导障碍：若对所有$d$都有$c^+(S\#_b S, g\#h) \notin U^d \cdot HF^+(-(Y_g \# Y_h))$，则对所有$d$都有$c^+(S, hg) \notin U^d \cdot HF^+(-Y_{hg})$，这意味着$Y_{hg}$不是L-空间。
• 利用Ozsváth-Szabó和Stipsicz关于$c_1$-非挠和Stein可填充性的结果，推导出$Y_{hg}$不能是L-空间或不支持平面开书的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 Ozsváth-Szabó接触不变量在单值变换组合下是否消失？是否能通过Heegaard Floer同调中的共乘法结构捕捉到？
• RQ2 在$\widehat{HF}$上的共乘法结构能否扩展至$HF^+$？这会带来哪些新障碍？
• RQ3 在$c^+$和$c_1$满足何种条件下，组合$hg$会阻止$Y_{hg}$成为L-空间或不支持平面开书？
• RQ4 若$c(S, g)$和$c(S, h)$均非零，是否能保证$c(S, hg)$也非零？该结论是否可扩展至$c^+$？
• RQ5 是否存在一种方法利用共乘法结构检测接触结构的不可填充性或非平面性？

主要发现

• 当$c(S, g)$和$c(S, h)$均非零时，接触不变量$c(S, hg)$也非零，证明了紧致性或可填充性在单值变换组合下保持不变。
• 共乘法映射$\tilde{\mu}: \widehat{HF}(-Y_{hg}) \to \widehat{HF}(-Y_g) \otimes \widehat{HF}(-Y_h)$满足$\tilde{\mu}(c(S, hg)) = c(S, g) \otimes c(S, h)$，确立了自然性与共乘法性。
• 共乘法结构可扩展至$HF^+$，若对所有$d$都有$c^+(S\#_b S, g\#h) \notin U^d \cdot HF^+(-(Y_g \# Y_h))$，则对所有$d$都有$c^+(S, hg) \notin U^d \cdot HF^+(-Y_{hg})$，这意味着$Y_{hg}$不是L-空间。
• 若$c_1(\mathfrak{s}(S,g))$为非挠且$c^+(S\#_b S, g\#h) \neq 0$，则$Y_{hg}$不能是L-空间，且$Y_{hg}$上的接触结构不支持平面开书。
• 若$(S,g)$和$(S,h)$均为Stein可填充的，且$c_1(\mathfrak{s}(S,g)) = c_1(\mathfrak{s}(S,h)) = 0$，则$Y_{hg}$不能是L-空间，且$Y_{hg}$上的接触结构不支持平面开书。
• 证明了若$c^+(S,g) \neq 0$且$(S,h)$支持一个Stein可填充的接触结构，则$c^+(S\#_b S, g\#h) \neq 0$，从而可使用基于$c^+$的障碍。