[논문 리뷰] Concentration estimates in a multi-host epidemiological model structured by phenotypic traits

Jean‐Baptiste Burie, Arnaud Ducrot외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 21.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models참고 문헌 34인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 표현형 특성에 따라 구조화된 다중 숙주 전염병 모델을 분석하며, 변이 핵심의 폭 $\varepsilon \to 0$일 때 정적 해의 점점 가까운 행동을 다룬다. 병원체 분포가 각 숙주 내에서 적합도를 최대화하는 표현형 특성에 집중됨을 증명하고, 작은 $\varepsilon$에 대해 정상 상태의 국소 안정성을 확립하며, 비국소 연산자의 스펙트럼 분석을 바탕으로 위상수학적 차수를 이용해 유일성을 도출한다.

ABSTRACT

In this work we consider an epidemic system modelling the evolution of a spore-producing pathogen within a multi-host population of plants. Here we focus our analysis on the study of the stationary states. We first discuss the existence of such nontrivial states by using the theory of global attractors. Then we introduce a small parameter epsilon that characterises the width of the mutation kernel, and we describe the asymptotic shape of steady states with respect to epsilon. In particular, we show that the distribution of spores converges to the singular measure concentrated on the maxima of fitness of the pathogen in each plant population. This asymptotic description allows us to show the local stability of each of the positive steady states in the regime of narrow mutations, from which we deduce a uniqueness result for the nontrivial stationary states by means of a topological degree argument. These analyses rely on a careful investigation of the spectral properties of some non-local operators.

연구 동기 및 목표

• 표현형 특성에 따라 구조화된 다중 숙주 병원체 모델에서 비자명한 정적 상태의 존재성과 유일성을 연구하는 것.
• 변이 핵심이 좁아질 때(\$\varepsilon \to 0$) 정적 해의 점점 가까운 형태를 분석하는 것.
• 스펙트럼 이론을 이용해 작은 $\varepsilon$에 대해 정상 상태의 국소 안정성을 확립하는 것.
• 안정성에 기반한 위상수학적 차수를 이용해 비자명한 평형점의 유일성을 증명하는 것.

제안 방법

• 표현형 특성 의존성과 함께 두 종류의 숙주를 거쳐 병원체 전파를 모델링하는 비국소 PDE-ODE 시스템을 수립한다.
• 작은 매개변수 $\varepsilon \ll 1$을 도입하여 변이 핵심 $m_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-N} m(x/\varepsilon)$를 스케일링하고, 희귀한 변이를 나타낸다.
• 역동계 이론과 Krein-Rutman 정리를 적용하여 비자명한 평형점의 존재성을 증명한다.
• 비국소 연산자의 스펙트럼 분석을 통해 주 특성값과 관련된 고유함수 성질을 연구한다.
• 투영 연산자 $\Pi$와 점점 가까운 전개 기법을 사용하여 반복 연산자의 수렴을 분석한다.
• 위상수학적 차수 이론을 적용하여 국소 안정성과 양성 스펙트럼 투영에 기반해 양성 정상 상태의 유일성을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중 숙주 병원체 모델에서 표현형 특성과 함께 변이율 $\varepsilon$가 0으로 수렴할 때 정적 해는 어떻게 행동하는가?
• RQ2 변이가 희귀할 경우 표현형 특성 공간에서 병원체 분포는 어디에 집중되는가?
• RQ3 이 비국소 시스템에서 양성 정상 상태의 국소 안정성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 비국소성과 다중 숙주 구조에도 불구하고 비자명한 평형점의 유일성은 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ5 비국소 연산자 $L^\varepsilon$의 스펙트럼 성질은 시스템의 장기적 행동을 어떻게 규정하는가?

주요 결과

• 모든 $\varepsilon \to 0$일 때, 병원체 분포는 각 숙주 집단 내에서 적합도를 최대화하는 표현형 특성의 집합에 집중된 특별한 측도로 수렴한다.
• 충분히 작은 $\varepsilon$에 대해, 각 양성 정상 상태는 선형화된 연산자의 스펙트럼 분석을 통해 국소적으로 점점 안정됨을 보였다.
• 비국소 연산자 $L^\varepsilon$의 주 특성값 $r_\sigma(L^\varepsilon)$는 장기적 성장률을 규정하며 안정성을 결정한다.
• 반복 연산자 $(L^\varepsilon)^n$의 점점 가까운 행동은 지배적인 고유공간으로의 투영으로 수렴하여, 적합도 최대값에서의 집중을 확인한다.
• 국소 안정성과 양성 스펙트럼 투영에 기반한 위상수학적 차수를 이용해 비자명한 정상 상태의 유일성을 확립하였다.
• 분석을 통해 시스템은 약한 변이 조건 하에서 병원체 특성이 최적의 적합도 값으로 진화하는 집중 현상을 보임을 확인하였다.