[논문 리뷰] Conditional Lower Bound for Subgraph Isomorphism with a Tree Pattern

Robert Krauthgamer, Ohad Trabelsi|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 25.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 그래프에 k개 정점의 트리가 부분그래프로 포함되어 있는지 여부를 판단하는 kTree 문제에 대해 조건부 하한을 설정한다. 이는 어떤 알고리즘이 $(2 - \varepsilon)^k \cdot \text{poly}(n)$ 시간 내에 이를 해결할 경우, Set Cover 추측을 반증하게 된다는 것을 보여준다. 또한, Set Cover 추측 하에 거의 최적인 $(2 + \varepsilon)^p \cdot m^{O(1/\varepsilon)}$ 시간 복잡도를 가지는 p-Partial Cover 문제를 위한 새로운 알고리즘을 개발한다.

ABSTRACT

The kTree problem is a special case of Subgraph Isomorphism where the pattern graph is a tree, that is, the input is an $n$-node graph $G$ and a $k$-node tree $T$, and the goal is to determine whether $G$ has a subgraph isomorphic to $T$. We provide evidence that this problem cannot be computed significantly faster than $2^{k} extsf{poly}(n)$, which matches the fastest algorithm known for this problem by Koutis and Williams [ICALP 2009 and TALG 2016]. Specifically, we show that if kTree can be solved in time $(2-\varepsilon)^k extsf{poly}(n)$ for some constant $\varepsilon>0$, then Set Cover with $n'$ elements and $m'$ sets can be solved in time $(2-δ)^{n'} extsf{poly}(m')$ for a constant $δ(\varepsilon) > 0$, which would refute the Set Cover Conjecture by Cygan et al. [CCC 2012 and TALG 2016]. Our techniques yield a new algorithm for the p-Partial Cover problem, a parameterized version of Set Cover that requires covering at least $p$ elements (rather than all elements). Its running time is $(2+\varepsilon)^p (m')^{O(1/\varepsilon)}$ for any fixed $\varepsilon>0$, which improves the previous $2.597^p extsf{poly}(m')$-time algorithm by Zehavi [ESA 2015]. Our running time is nearly optimal, as a $(2-\varepsilon')^p extsf{poly}(m')$-time algorithm would refute the Set Cover Conjecture.

연구 동기 및 목표

• Set Cover 추측에 기반하여 kTree 문제에 대한 조건부 하한을 설정하기.
• kTree에 대한 $O^*(2^k)$ 알고리즘을 $(2 - \varepsilon)^k \cdot \text{poly}(n)$ 으로 크게 향상시킬 경우 Set Cover 추측을 반증하게 된다는 것을 보여주기.
• 개선된 실행 시간을 가지는 p-Partial Cover 문제를 위한 새로운 알고리즘을 개발하기.
• 새로운 p-Partial Cover 알고리즘이 Set Cover 추측 하에 거의 최적임을 보여주기.

제안 방법

• 특히 구성된 호스트 그래프 $G_g$ 와 트리 $T_g^\alpha$ 를 사용하여 Set Cover 문제를 kTree의 인스턴스로 감소시킨다.
• 정점의 차수와 연결성에 대한 구조적 제약 조건을 사용하여, 유효한 이sov레즘은 유효한 Set Cover 해를 암시하도록 보장한다.
• Koutis와 Williams [KW16]의 kTree 알고리즘을 사용하여 감소된 인스턴스를 $O^*(2^k)$ 시간 내에 해결한다.
• p-Partial Cover에 대한 감소를 위해 분할 집합의 열거를 오직 $p$ 개 요소에 대응하는 것들로 제한한다.
• 유도된 그래프의 단순화와 실행 시간 상한 향상을 위해 유도된 트리와 수정된 구성 기법을 사용한다.
• 수반된 트리 크기와 분할 수의 상호 보완 관계를 균형 잡기 위해 $g = 4/\varepsilon'$ 를 설정함으로써 원하는 시간 복잡도를 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 kTree에 대한 $O^*(2^k)$ 알고리즘을 어떤 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $(2 - \varepsilon)^k \cdot \text{poly}(n)$ 으로 크게 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 그러한 향상이 Set Cover 문제에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 Set Cover 추측 하에 $O^*(2.597^p)$ 알고리즘이 p-Partial Cover 문제에 대해 최적인가?
• RQ4 최신 기술보다 향상된 실행 시간을 가지는 p-Partial Cover 문제를 위한 새로운 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ5 새로운 알고리즘의 실행 시간 $(2 + \varepsilon)^p \cdot m^{O(1/\varepsilon)}$ 이 거의 최적인가?

주요 결과

• 만약 어떤 $\varepsilon > 0$ 에 대해 kTree가 $(2 - \varepsilon)^k \cdot \text{poly}(n)$ 시간 내에 해결될 수 있다면, Set Cover 문제 역시 $n$ 개의 원소와 $m$ 개의 집합에 대해 $(2 - \delta)^n \cdot \text{poly}(m)$ 시간 내에 해결 가능하며, 이는 Set Cover 추측을 반증하게 된다.
• 새로운 p-Partial Cover 알고리즘은 임의의 고정된 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $(2 + \varepsilon)^p \cdot m^{O(1/\varepsilon)}$ 시간 내에 실행되며, 이는 이전의 $O^*(2.597^p)$ bound 보다 향상된 것이다.
• 새로운 p-Partial Cover 알고리즘의 실행 시간은 거의 최적이다. 왜냐하면 $(2 - \varepsilon')^p \cdot \text{poly}(m)$ 시간 내에 실행되는 알고리즘이 존재할 경우 Set Cover 추측을 반증하게 되기 때문이다.
• 정점 차수와 그래프 구조에 대한 표준 가정 하에 Set Cover에서 kTree로의 감소가 유효하여 조건부 하한의 정확성이 보장된다.
• 호스트 그래프 $G_g$ 와 트리 $T_g^\alpha$ 의 구성은 유효한 이sov레즘이 정확히 유효한 Set Cover 해에 대응하도록 보장한다.
• 매개변수 $g = 4/\varepsilon'$ 는 분할 수와 트리 크기 사이의 상호 보완 관계를 균형 잡기 위해 선택되었으며, 이는 원하는 시간 복잡도를 달성하는 데 기여한다.