[논문 리뷰] Conductors and minimal discriminants of hyperelliptic curves with rational Weierstrass points

Padmavathi Srinivasan|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 21.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 3인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 특성 2가 아닌 완전한 잔여체를 가진 이산 평가환수 위에서의 초타원곡선에 대해, 모든 웨이어스트라스 점들이 $K^{\mathrm{sh}}$-유리일 때, 최소의 적절한 정규 모델의 음의 아르틴 판별식이 최소 판별식에 의해 상한으로 제한됨을 증명한다. 핵심 결과는 $-\operatorname{Art}(\mathcal{X}/S) \leq \nu(\Delta)$이며, 리우의 종수 2 결과를 유리 웨이어스트라스 점을 가진 임의의 종수로 일반화한다.

ABSTRACT

Let $C$ be a hyperelliptic curve of genus $g$ over the fraction field $K$ of a discrete valuation ring $R$. Assume that the residue field $k$ of $R$ is perfect and that $\mathop{ extrm{char}} k eq 2$. Assume that the Weierstrass points of $C$ are $K$-rational. Let $S = \mathop{ extrm{Spec}} R$. Let $\mathcal{X}$ be the minimal proper regular model of $C$ over $S$. Let $\mathop{ extrm{Art}} (\mathcal{X}/S)$ denote the Artin conductor of the $S$-scheme $\mathcal{X}$ and let $ν(Δ)$ denote the minimal discriminant of $C$. We prove that $-\mathop{ extrm{Art}} (\mathcal{X}/S) \leq ν(Δ)$. As a corollary, we obtain that the number of components of the special fiber of $\mathcal{X}$ is bounded above by $ν(Δ)+1$.

연구 동기 및 목표

• 모든 웨이어스트라스 점들이 $K^{\mathrm{sh}}$-유리일 조건 하에, 종수 2에서의 리우의 부등식 $-\operatorname{Art}(C/K) \leq \nu(\Delta)$를 임의의 종수의 초타원곡선으로 일반화하는 것.
• 이러한 곡선에 대해 음의 아르틴 판별식의 통일된 상한을 최소 판별식에 따라 설정하는 것.
• 모델 이론적이고 조합론적인 증명을 통해 명시적 정규 모델과 이중 그래프를 사용하여, 선행 분류 없이도 증명하는 것.
• 최소 정규 모델의 특수 섹션에 있는 성분 수를 최소 판별식에 따라 유계하는 것.

제안 방법

• 웨이어스트라스 점들의 특수화를 분리하기 위해 $\mathbb{P}^1_R$를 반복적으로 블로잉업한 후, $C$의 함수체에서의 정규화를 취하여 곡선 $C$의 명시적 적절한 정규 모델 $X$를 구성하는 것.
• 특수 섹션의 성분 수 $n(X)$와 $\ell$-adic 갈루아 표현의 판별식 $\tilde{f}$를 사용하여 공식 $-\operatorname{Art}(X/S) = n(X) - 1 + \tilde{f}$를 사용하는 것.
• 이중 그래프 $T_B$의 정점에 따라 인덱싱된 국소 기여를 사용하여 구성된 모델의 델리 판별식을 정의하고 계산하는 것.
• 특수 섹션의 이중 그래프 $T_B$를 분석하여, 정점의 무게, 차수, 성분 유형에 기반한 국소 항으로 판별식을 분해하는 것.
• 정점 기여를 분석하고 무게 및 성분 수 제약 조건에서 유도된 부등식을 사용하여 델리 판별식과 최소 판별식 사이의 차이를 유계하는 것.
• 모든 정점에 대해 국소 유계를 합산하고 최종 모델의 최소성 조건을 사용하여 주요 부등식 $-\operatorname{Art}(\mathcal{X}/S) \leq \nu(\Delta)$를 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 웨이어스트라스 점들이 $K^{\mathrm{sh}}$-유리일 때, 임의의 종수의 초타원곡선에 대해 $-\operatorname{Art}(\mathcal{X}/S) \leq \nu(\Delta)$가 성립하는가?
• RQ2 구성된 정규 모델에 대해 델리 판별식을 명시적으로 계산할 수 있으며, 최소 판별식과 비교해보면 어떻게 되는가?
• RQ3 특수 섹션의 이중 그래프에 어떤 조건이 성립하면 $-\operatorname{Art}(\mathcal{X}/S) = \nu(\Delta)$가 성립하는가?
• RQ4 최소 정규 모델의 특수 섹션에 있는 성분 수는 최소 판별식과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 최소 적절한 정규 모델의 음의 아르틴 판별식은 $-\operatorname{Art}(\mathcal{X}/S) \leq \nu(\Delta)$를 만족하며, 리우의 종수 2 결과를 유리 웨이어스트라스 점 조건 하에서 임의의 종수로 일반화한다.
• 최소 적절한 정규 모델의 특수 섹션에 있는 기약 성분 수 $n$은 $n \leq \nu(\Delta) + 1$를 만족한다.
• 등식 $-\operatorname{Art}(\mathcal{X}/S) = \nu(\Delta)$가 성립하는 것은, 구성된 모델이 최소이면서 이중 그래프 $T_B$가 엄격한 위상적 및 무게 제약 조건을 만족할 때에만 성립한다. 이는 높이가 2 이하이고 정점의 차수에 상한이 있음을 포함한다.
• 자기의 아르틴 판별식 $\tilde{f}$는 그림자 곡선의 야코비안이 좋은 균형을 가질 때에만 0이 되며, 이 경우 $n = \nu(\Delta) + 1$이다.
• 모델 $X$가 최소가 아니라는 것은, 그 이중 그래프에 짝수가 아닌 정점이 있고, 그 정점이 짝수 자식을 한 명만 가지며, $l'_v$-기여가 없을 때에만 성립한다.
• 모델의 분류 없이도 증명을 수행하기 위해 명시적 블로잉업 구조와 이중 그래프 분석을 사용하여, 나미카와-우에 형식의 분류가 필요 없이 증명을 완성한다.