[论文解读] Conformal Galilean-type algebras, massless particles and gravitation

Peter C. Stichel|ArXiv.org|Aug 10, 2009

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文提出一种具有动力学指数 $ z = 5/3 $ 的共形伽利略代数，用于建模生成自引力流体的质量无粒子，其引力质量密度可动态诱导为正或负。该模型产生表现出早期减速和晚期加速的宇宙学解，无需引入人为参数，为暗能量模型提供了根本性的替代方案。

ABSTRACT

After defining conformal Galilean-type algebras for arbitrary dynamical exponent $z$ we consider the particular cases of the conformal Galilei algebra (CGA) and the Schrödinger Lie algebra (sch). Galilei massless particles moving with arbitrary, finite velocity are introduced \begin{description} \item{i)} in $d=2$ as a realization of the centrally extended CGA in 6 dimensional phase space, \item{ii)} in arbitrary spatial dimension $d$ as a realization of the unextended \it{sch} in 4d dimensional phase space. \end{description} A particle system, minimally coupled to gravity, shows, besides Galilei symmetry, also invariance with respect to arbitrary time dependent translations and to dilations with $z = (d +2)/3$. The most important physical property of such a self-gravitating system is the appearance of a dynamically generated gravitational mass density of either sign. Therefore, this property may serve as a model for the dark sector of the universe. The cosmological solutions of the corresponding hydrodynamical equations show a deceleration phase for the early universe and an acceleration phase for the late universe. This paper is based, in large part, on a recent work with W.J. Zakrzewski: Can cosmic acceleration be caused by exotic massless particles? arXiv:0904.1375 (astro-ph.CO) [1].

研究动机与目标

• 基于非相对论性对称性，特别是任意 $ z $ 的共形伽利略代数，构建类似相对论的宇宙学模型，以在不引入暗能量的情况下解释宇宙加速。
• 通过共形伽利略代数（CGA）和施罗丁格代数（sch）的中心扩张，在 $ d=2 $ 和一般 $ d $ 下实现质量无粒子，使用扩展相空间。
• 推导在时间依赖平移和缩放下不变的自引力流体系统，其中 $ z = (d+2)/3 $，从而导出类似弗里德曼的方程。
• 证明该模型能动态生成正负均可的引力质量密度，从而在宇宙演化中实现从减速到加速的转变。
• 通过从对称性和质量无粒子的相空间实现推导宇宙动力学，提供一种根本性的、无参数的替代标准暗能量模型的方法。

提出的方法

• 定义具有任意动力学指数 $ z $ 的共形伽利略型代数，包括时间平移 $ H $、缩放 $ D $、扩张 $ K $ 和伽利略提升 $ K_i $ 的生成元，变换规律为 $ x_i^* = \lambda^{1/z}x_i $，$ t^* = \lambda t $。
• 通过相空间扩展实现质量无粒子：在 $ d=2 $ 时，使用 $ K_i = p_i t + q_i $，其中 $ [y_i, q_j] = \delta_{ij} $，$ y_i = [x_i, H] $，且 $ [y_i, y_j] = \epsilon_{ij}/\theta $，从而得到最小的 6 维相空间。
• 构建一阶拉格朗日量 $ L = p_i \dot{x}_i - \frac{\theta}{2}\epsilon_{ij}y_i\dot{y}_j - H $，其中 $ H = p_i y_i $，通过泊松括号推导运动方程。
• 通过泊松方程 $ \nabla^2 \phi = 4\pi G \rho $ 将系统耦合到引力，其中 $ \rho $ 为动态生成的引力质量密度。
• 假设空间均匀且各向同性的解，满足 $ n(t) \propto a^{-3}(t) $，$ u_i = x_i H(t) $，且 $ q_i = x_i g(a(t)) $，从而导出类似弗里德曼的方程 $ -\ddot{a} = \frac{3GD}{a^2} g(a) $。
• 求解所得的三次方程 $ g(g^2 + C_1) + C_0(1 - a_t/a) = 0 $，其中 $ a_t = 2\beta^2/(GDC_0) $，以证明当 $ a < a_t $ 时 $ \ddot{a} < 0 $（减速），当 $ a > a_t $ 时 $ \ddot{a} > 0 $（加速）。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有 $ z = 5/3 $ 对称性的伽利略型质量无粒子自引力系统能否再现宇宙学中早期减速到晚期加速的观测过渡？
• RQ2 在具有扩展自由度的相空间中，如何一致地实现质量无粒子以满足 $ [P_i, K_j] = 0 $ 和 $ [K_i, K_j] = \theta \epsilon_{ij} $（在 $ d=2 $ 时）？
• RQ3 动力学指数 $ z $ 在决定自引力流体模型中引力质量密度及其符号方面起什么作用？
• RQ4 从该模型导出的宇宙学解能否在不引入宇宙学常数或标量场的情况下解释观测到的宇宙加速？
• RQ5 解 $ g(a) $ 中的积分常数 $ C_0, C_1 $ 如何影响减速到加速的转变？它们能否被物理约束？

主要发现

• 该模型导出类似弗里德曼的方程 $ -\ddot{a} = \frac{3GD}{a^2} g(a) $，其源自无参数拉格朗日量，且 $ D > 0 $，从而在 $ a = a_t $ 处实现从 $ \ddot{a} < 0 $（减速）到 $ \ddot{a} > 0 $（加速）的转变。
• 当 $ C_0, C_1 > 0 $ 时，解显示 $ g(a) > 0 $ 对于 $ a < a_t $，且 $ g(a) < 0 $ 对于 $ a > a_t $，意味着早期和晚期阶段的引力质量密度动态生成符号相反。
• 在渐近极限 $ t \to 0 $ 下，标度因子演化为 $ a(t) \sim t^{3/5} $，与标度不变解一致，且 $ n(t) \sim t^{-9/5} $，与 $ n \propto a^{-3} $ 匹配。
• 该模型在不引入宇宙学常数或标量场的情况下实现宇宙加速，仅依赖于对称性结构和质量无粒子的相空间扩展。
• 动力学指数 $ z = 5/3 $ 至关重要：它确保代数闭合，并允许非平凡引力质量密度的存在，而 $ z = 1 $（CGA）在存在加速度时与所需对称性闭合不相容。
• 该模型与标准暗能量模型根本不同：它源自基本对称性和质量无粒子的相空间实现，而非通过含任意参数的几何或物质作用的修改。