[논문 리뷰] Conformal invariance and the Lundgren-Monin-Novikov equations for vorticity fields in 2D turbulence: Refuting a recent claim

Michael Frewer, George Khujadze|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 06.

Fluid Dynamics and Turbulent Flows참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 그레베네프 등(2017)이 고전적 리군 군 대칭 분석을 통해 점성력이 없는 2차원 룬드그렌-모닌-노빅로프(LMN) 방정식이 국소적 등각 대칭성을 갖는다고 주장한 바를 반박한다. 저자들은 주장된 등각 대칭성이 LMN 시스템의 핵심 제약 조건에 대한 잘못된 변환에서 기인하며, 이 제약 조건을 수정하면 국소적 등각 대칭성이 붕괴되고 대칭성이 오직 전역 스케일링으로만 줄어들게 되어 원래의 결론이 무효화됨을 보여준다.

ABSTRACT

The recent claim by Grebenev et al. [J. Phys. A: Math. Theor. 50, 435502 (2017)] that the inviscid 2D Lundgren-Monin-Novikov (LMN) equations on a zero vorticity characteristic naturally would reveal local conformal invariance when only analyzing these by means of a classical Lie-group symmetry approach, is invalid and will be refuted in the present comment. To note is that within this comment the (possible) existence of conformal invariance in 2D turbulence is not questioned, only the conclusion as is given in Grebenev et al. (2017) and their approach how this invariance was derived is what is being criticized and refuted herein. In fact, the algebraic derivation for conformal invariance of the 2D LMN vorticity equations in Grebenev et al. (2017) is flawed. A key constraint of the LMN equations has been wrongly transformed. Providing the correct transformation instead will lead to a breaking of the proclaimed conformal group. The corrected version of Grebenev et al. (2017) just leads to a globally constant scaling in the fields and not to a local one as claimed. In consequence, since in Grebenev et al. (2017) only the first equation within the infinite and unclosed LMN chain is considered, also different Lie-group infinitesimals for the one- and two-point probability density functions (PDFs) will result from this correction, replacing thus the misleading ones proposed.

연구 동기 및 목표

• 그레베네프 등(2017)이 점성력이 없는 2차원 LMN 방정식이 고전적 리군 군 대칭 분석 하에 국소적 등각 대칭성을 갖는다고 주장한 바를 도전한다.
• 등각 대칭성에 오류가 생기는 데 기여한 LMN 시스템 내 핵심 제약 조건의 변환에서 발생한 대수적 오류를 규명하고 수정한다.
• 수정된 제약 조건을 기반으로 다시 평가한 리군 군 대칭 분석을 통해 2차원 LMN 방정식의 진정한 대칭성 구조를 명확히 한다.
• 수정된 시스템이 국소적 등각 대칭성을 갖지 않고 오직 전역 스케일링 대칭성만 허용함을 보여주어 원래의 결론을 무효화한다.

제안 방법

• 비폐쇄된 2차원 LMN 소용리 방정식 체계의 첫 번째 방정식에 대해 리군 군 대칭 접근법을 세밀하게 재분석한다.
• 그레베네프 등(2017)이 제안한 정규화 제약 조건의 잘못된 변환을 규명하여 등각 대칭성이 잘못 보존된다는 점을 밝힌다.
• 제약 조건에 대해 올바른 변환을 적용함으로써 국소적 등각 대칭성이 붕괴되고 대칭군이 축소됨을 보여준다.
• 수정된 제약 조건을 사용하여 무한소 리 대칭을 재도출하여 더 이상 국소적 등각 변환을 포함하지 않는 대칭 대수를 도출한다.
• 수정된 시스템이 필드에 대해 오직 전역 스케일링 대칭성만 허용하며 국소적 등각 대칭성은 허용하지 않음을 보여준다.
• 수정된 1점 및 2점 확률밀도함수(PDF)에 대한 무한소 대칭을 그레베네프 등(2017)이 제안한 것과 비교하여 원래 도출 과정의 일관성 오류를 드러낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그레베네프 등(2017)이 주장한 바와 같이 점성력이 없는 2차원 룬드그렌-모닌-노빅로프(LMN) 방정식 체계가 고전적 리군 군 대칭 분석 하에 국소적 등각 대칭성을 갖는가?
• RQ2 LMN 체계 내 정규화 제약 조건의 올바른 변환은 무엇이며, 이는 결과적으로 대칭 대수에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 왜 그레베네프 등(2017)의 원래 유도 과정은 LMN 방정식에서 국소적 등각 대칭성을 잘못 식별하게 되었는가?
• RQ4 오류가 수정된 후 2차원 LMN 방정식의 진정한 대칭성 구조는 무엇인가?
• RQ5 수정된 1점 및 2점 확률밀도함수(PDF)에 대한 무한소 대칭은 그레베네프 등(2017)이 주장한 바와 다를까? 만약 다르다면 어떻게 다른가?

주요 결과

• 그레베네프 등(2017)이 유도한 2차원 LMN 방정식의 국소적 등각 대칭성 주장은 핵심 정규화 제약 조건의 잘못된 변환으로 인해 무효하다.
• 제약 조건의 변환을 수정하면 국소적 등각 대칭성이 붕괴되고 대칭군은 오직 필드의 전역 스케일링으로만 줄어든다.
• 수정된 시스템은 더 이상 전체 등각 대칭대수를 수용하지 않으며, 오직 전역 스케일 불변성만 수용한다.
• 수정된 제약 조건 하에서 1점 및 2점 확률밀도함수(PDF)에 대한 무한소 리 대칭은 원래의 대칭 가정과 다름을 보여주며 원래의 대칭 가정을 무효화한다.
• 원래 유도 과정에서 잘못된 변환에 의존함으로써 2차원 난류에서의 등각 대칭성에 대한 오해의 결론이 도출되었다.