[논문 리뷰] Congruences on completely inverse $AG^{**}$-groupoids

Wiesław A. Dudek, Roman S. Gigoń|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 25.

Fuzzy and Soft Set Theory참고 문헌 4인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 완전히 역행성 $AG^{**}$-군oids—$xx^{-1} = x^{-1}x$를 만족하는 $AG^{**}$-군oids—에서 그린의 관계 $\mathcal{H}$, $\mathcal{L}$, $\mathcal{R}$, $\mathcal{D}$, $\mathcal{J}$가 일치하며, $\mathcal{H}$가 최소의 격자형 합동과 동시에 최대의 등급원 분리 합동임을 증명한다. 이 구조는 $AG$-군들의 격자임을 보이며, 핵과 몫 구조에의 적용이 가능하다.

ABSTRACT

By a completely inverse $AG^{**}$-groupoid we mean an inverse $AG^{**}$-groupoid $A$ satisfying the identity $xx^{-1}=x^{-1}x$, where $x^{-1}$ denotes a unique element of $A$ such that $x=(xx^{-1})x$ and $x^{-1}=(x^{-1}x)x^{-1}.$ We show that the set of all idempotents of such groupoid forms a semilattice and the Green's relations $\mathcal{H,L, R,D}$ and $\mathcal{J}$ coincide on $A$. The main result of this note says that any completely inverse $AG^{**}$-groupoid meets the famous Lallement's Lemma for regular semigroups. Finally, we show that the Green's relation $\mathcal{H}$ is both the least semilattice congruence and the maximum idempotent-separating congruence on any completely inverse $AG^{**}$-groupoid.

연구 동기 및 목표

• 완전히 역행성 $AG^{**}$-군oids—$xx^{-1} = x^{-1}x$를 만족하는 비결합성 군oids의 클래스—에서의 합동을 특성화하기 위해.
• 라멘트의 보조정리를 이 클래스로 확장하여 정규 반군 이론의 결과를 일반화하기 위해.
• 이러한 구조에서 그린의 관계 $\mathcal{H}$, $\mathcal{L}$, $\mathcal{R}$, $\mathcal{D}$, $\mathcal{J}$가 일치함을 보이기 위해.
• $\mathcal{H}$가 최소의 격자형 합동이자 최대의 등급원 분리 합동임을 증명하기 위해.
• 합동 $A/\mathcal{H}$의 구조를 등급원의 격자 $E_A$와 동형으로 묘사하기 위해.

제안 방법

• $AG^{**}$-군oids에서 구조적 성질을 도출하기 위해 중간 법칙 $ab\cdot cd = ac\cdot bd$와 반중간 항등식 $ab\cdot cd = db\cdot ca$의 사용.
• 등급원의 집합 $E_A$가 주어진 항등식들에 의해 격자로 형성됨을 증명.
• 모든 $a \in A$에 대해 $aA = Aa = L(a) = R(a) = J(a)$임을 확립하여 그린의 관계가 일치함을 의미.
• $\mathcal{H}$-류가 유일한 등급원을 가지는 $AG$-군임을 보이며, $\mathcal{H}$-류가 $E_A$와 일대일 대응됨을 보임.
• 영원소 $e \in E_A$에 대해 $\varphi: A \to eA$의 전성사상 구축, 이때 $eA$는 $AG$-군의 핵임을 보임.
• 최소의 $AG$-군 합동 $\sigma = \{(a,b) : ea = eb\}$ 정의, $A/\sigma \cong \mathcal{H}_e$임을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완전히 역행성 $AG^{**}$-군oids에서 라멘트의 보조정리는 성립하는가?
• RQ2 완전히 역행성 $AG^{**}$-군oids에서 그린의 관계 $\mathcal{H}$, $\mathcal{L}$, $\mathcal{R}$, $\mathcal{D}$, $\mathcal{J}$가 일치하는가?
• RQ3 $\mathcal{H}$는 어떤 완전히 역행성 $AG^{**}$-군oids에서도 최소의 격자형 합동인가?
• RQ4 $\mathcal{H}$는 이러한 군oids에서 최대의 등급원 분리 합동인가?
• RQ5 합동 $A/\mathcal{H}$의 구조는 무엇이며, 등급원의 격자와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 모든 완전히 역행성 $AG^{**}$-군oids에서 그린의 관계 $\mathcal{H}$, $\mathcal{L}$, $\mathcal{R}$, $\mathcal{D}$, $\mathcal{J}$가 일치한다.
• 등급원의 집합 $E_A$는 주어진 항등식들에 의해 격자를 이루며, $A/\mathcal{H} \cong E_A$이다.
• $\mathcal{H}$는 $A$ 위에서 최소의 격자형 합동이므로, 더 작은 격자형 합동이 존재하지 않는다.
• $\mathcal{H}$는 최대의 등급원 분리 합동이므로, 더 큰 등급원 분리 합동이 존재하지 않는다.
• 각 $\mathcal{H}$-류는 $AG$-군이며, $A$는 $E_A$로 색인화된 $AG$-군들의 격자이다.
• 만약 $e \in E_A$가 영원소이면, $\mathcal{H}_e = eA$는 $A$의 $AG$-군 핵이며, $a \mapsto ea$는 $\mathcal{H}_e$로의 전성사상이다.