[논문 리뷰] Conic Martingales from Stochastic Integrals

Frédéric Vrins, Monique Jeanblanc|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 24.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 9인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변화하는 경계 내에서 진동하면서도 마팅게일 성질을 유지하는 확률적 과정인 쌍곡 마팅게일을 소개한다. 정규 분포를 갖는 확률적 미분방정식에 경계가 있고 가역적인 함수를 적용함으로써 [0,1] 내에서 해석적으로 다룰 수 있는 마팅게일을 구성한다. 시간에 동일한 조건을 갖는 정규 분포에 대한 사상 조건 하에서, 분리 가능한 분산성 $ olimits\sigma(t,y) = g(t)h(y)$ 를 갖는 특정 과정이 유일하게 존재함을 증명하며, 이는 생존 확률과 같이 [0,1] 내에 제한된 금융 수량을 일관되게 모델링할 수 있게 한다.

ABSTRACT

In this paper we introduce the concept of conic martingales}. This class refers to stochastic processes having the martingale property, but that evolve within given (possibly time-dependent) boundaries. We first review some results about the martingale property of solution to driftless stochastic differential equations. We then provide a simple way to construct and handle such processes. Specific attention is paid to martingales in $[0,1]$. One of these martingales proves to be analytically tractable. It is shown that up to shifting and rescaling constants, it is the only martingale (with the trivial constant, Brownian motion and Geometric Brownian motion) having a separable coefficient $σ(t,y)=g(t)h(y)$ and that can be obtained via a time-homogeneous mapping of Gaussian diffusions. The approach is exemplified to the modeling of stochastic conditional survival probabilities in the univariate (both conditional and unconditional to survival) and bivariate cases.

연구 동기 및 목표

• 수학 금융 분야에서 조건부 생존 확률이 [0,1] 내에 제한된 해석 가능한 유계 마팅게일 모델의 부족을 해결하기 위해.
• 지정된 경계 내에 머무르는 마팅게일을 체계적으로 구성하는 방법을 개발하여, 기존 모델에서 확률이 1을 초과하는 문제를 피하기 위함이다.
• 시간에 동일한 조건을 갖는 정규 분포에 대한 사상으로 유도되는, 분리 가능한 분산성 $\sigma(t,y) = g(t)h(y)$ 를 갖는 쌍곡 마팅게일의 유일한 클래스를 식별하고 특성화하기 위해.
• 일반적으로 사용되지만 결함이 있는 모델들인 이동된 오르누슈타인-울렌벡 또는 CIR++ 모델에 대한 실용적이고 해석적으로 다룰 수 있는 대안을 제공하기 위해.

제안 방법

• 정규 분포를 갖는 확률적 미분방정식 $X_t$ 에 경계가 있고 가역적인 변환 $F$ 를 적용하여 $Y_t = F(X_t)$ 를 구성함으로써 쌍곡 마팅게일을 생성하며, 이로 인해 $Y_t \in [0,1]$ 이 되도록 보장한다.
• 드리프트가 없는 확률적 미분방정식 $dY_t = \sigma(t,Y_t)dW_t$ 를 사용하여 역학을 정의함으로써, $\sigma$ 에 대한 적절한 조건 하에서 마팅게일 성질이 유지되도록 한다.
• 드리프트 함수 $f(x) = -\frac{1}{2} \left( \frac{x - x_0}{\mu} \right)^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{x - x_0}{\mu} \right)^4$ 를 사용하여 $X_t$ 가 $x_0$ 근처에서 안정화되도록 '굴곡'을 유도함으로써 경계로의 붕괴를 방지한다.
• 변환된 과정을 단위 구간으로 매핑하기 위해 역누적분포함수 $\Phi^{-1}$ 를 적용함으로써, 결과적으로 $Y_t$ 가 [0,1] 내에 값이 있는 진정한 마팅게일이 되도록 보장한다.
• 장기적 행동 및 분포적 성질을 검증하기 위해 몬테카를로 시뮬레이션과 PDE 해석기를 활용한다.
• 조건부 생존 확률 과정 $Q_t(T)$ 의 누적분포함수를 $\Phi(z^\star)$ 로 유도하며, 여기서 $z^\star$ 는 $m(t,T)$ 와 $v(t)$ 를 포함한 임계값 방정식을 푸는 것으로 결정된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 동일한 조건을 갖는 정규 분포에 대한 사상이 [0,1] 내에 유계된 진정한 마팅게일을 생성하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 분리 가능한 분산성 $\sigma(t,y) = g(t)h(y)$ 를 갖는 쌍곡 마팅게일 중에서 그러한 사상으로 유일하게 도출될 수 있는 것은 무엇인가?
• RQ3 이중극성 드리프트 함수는 결과 마팅게일의 장기적 분포 및 경계 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 제안된 방법은 단변량 및 이변량 생존 확률을 일관되게 모델링할 수 있는가? 이때 마팅게일 성질과 유계성 조건을 유지하는가?
• RQ5 이 프레임워크 하에서 조건부 생존 확률 과정 $Q_t(T)$ 의 누적분포함수의 해석적 형태는 무엇인가?

주요 결과

• 이중극성 드리프트 함수와 유계 변환 $F$ 를 통해 구성된 쌍곡 마팅게일은 비퇴화된 정적 분포를 가지며, $t \to \infty$ 일지라도 [0,1] 내부에서 0 또는 1으로 거의 확실히 붕괴되지 않는 비영 확률 질량을 유지한다.
• 만약 $X_t$ 가 드리프트 함수 $f(x)$ 를 갖는 국소 마팅게일이면서 $F$ 가 엄격히 증가하고, $F(\pm\infty) = 0,1$ 인 $C^2$ 함수이면, $Y_t = F(X_t)$ 는 진정한 마팅게일이다.
• 특수한 경우 $\sigma(t,y) = g(t)h(y)$ 에서, 저자들은 시간에 동일한 조건을 갖는 정규 분포에 대한 사상으로 유도될 수 있는 마팅게일 중에서 마팅게일 성질과 유계성 조건을 모두 만족하는 것은 유일하게 이 과정임을 증명한다.
• $Q_t(T)$ 의 누적분포함수는 $\Phi(z^\star)$ 로 주어지며, 여기서 $z^\star = (y^\star - m(t,T))/\sqrt{v(t)}$ 이고, $y^\star$ 는 $x \in (0,1)$ 과 $m > 0$ 에 대해 $x\Phi(m + y) - \Phi(y) = 0$ 의 유일한 해이다. 이는 해석적 다루기 용이성을 보장한다.
• 몬테카를로 및 PDE 시뮬레이션을 통해 $t \to \infty$ 일 때도 $[F(X_0 - \mu), F(X_0 + \mu)]$ 내부의 구간에서 양의 확률이 유지됨을 확인하였으며, 이는 중심 영역의 이론적 안정성을 검증한다.
• 이 방법은 강도 모델에서 확률이 1을 초과하는 문제를 피할 수 있으며, 신용 리스크 모델링에서 일반적으로 사용되는 이동된 CIR++ 또는 털-화이트 모델에 대한 일관된 대안을 제공한다.