[논문 리뷰] Connected (graded) Hopf algebras

Ken A. Brown, Paul Gilmartin외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 25.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 특성 0인 대수적으로 닫힌 체 위에서 연결된(등급을 가진) 호프 대수를 조사하며, 유한한 겔프란드-키릴로프 차원을 가진 연결된 등급 호프 대수는 노에테리안 도메인, 코hen-맥컬레이, 아르틴-슐레터 정규, 그리고 그 전역 차원이 GK-차원과 동일한 칼라비-야우 성질을 가짐을 증명한다. 핵심 결과로는 어떤 리 대수의 보편 포괄 대수와도 동형이 아닌 5차원 호프 대수를 구성한다.

ABSTRACT

We study algebraic and homological properties of two classes of infinite dimensional Hopf algebras over an algebraically closed field k of characteristic zero. The first class consists of those Hopf k-algebras that are connected graded as algebras, and the second class are those Hopf k-algebras that are connected as coalgebras. For many but not all of the results presented here, the Hopf algebras are assumed to have finite Gel'fand-Kirillov dimension. It is shown that if the Hopf algebra H is a connected graded algebra of finite Gel'fand-Kirillov dimension n, then H is a noetherian domain which is Cohen-Macaulay, Artin-Schelter regular and Auslander regular of global dimension n. It has S^2 = Id_H, and is Calabi-Yau. Detailed information is also provided about the Hilbert series of H. Our results leave open the possibility that the first class of algebras is (properly) contained in the second. For this second class, the Hopf k-algebras of finite Gel'fand-Kirillov dimension n with connected coalgebra, the underlying coalgebra is shown to be Artin-Schelter regular of global dimension n. Both these classes of Hopf algebra share many features in common with enveloping algebras of finite dimensional Lie algebras. For example, an algebra in either of these classes satisfies a polynomial identity only if it is a commutative polynomial algebra. Nevertheless, we construct, as one of our main results, an example of a Hopf k-algebra H of Gel'fand-Kirillov dimension 5, which is connected graded as an algebra and connected as a coalgebra, but is not isomorphic as an algebra to U(g) for any Lie algebra g.

연구 동기 및 목표

• 연결된 등급 대수 또는 연결된 코알제브라로서의 호프 대수의 대수적 및 호모로지적 성질을 분석하는 것.
• 유한한 겔프란드-키릴로프 차원이 이러한 호프 대수에 미치는 구조적 영향을 규명하는 것.
• 연결된 등급 호프 대수가 반드시 어떤 리 대수의 보편 포괄 대수와 동형이어야 하는지 조사하는 것.
• 이러한 호프 대수의 호모로지적 성질이 보편 포괄 대수와 교환 다항대수의 성질과 어떻게 비교되는지 조사하는 것.
• 유한한 GK-차원을 가진 호프 대수 중 어떤 U(𝔤)와도 동형이 아닌 구체적인 예를 구성하는 것.

제안 방법

• 무한 차원 호프 대수의 유한한 성장률을 분류하기 위해 겔프란드-키릴로프(GK) 차원을 사용하는 것.
• 호모로지 대수 도구의 적용: 아르틴-슐레터 정규성, 아우슬란더 정규성, 코헨-맥컬레이 성질.
• 코미터티브인 연결된 호프 대수를 보편 포괄 대수로 특성화하기 위해 카르티에-코스타ント 정리를 활용하는 것.
• 생성자와 관계를 통해 5차원 호프 대수를 구성하며, 정밀하게 정의된 코곱, 코유니트, 역원을 포함하는 것.
• 생성자에 대한 코아소시아티비티 및 코유니트 조건을 사용하여 대수 및 코알제브라 공리를 검증하는 것.
• 비가환, 비코미터티 예를 분석하기 위해 보편 포괄 대수의 쌍대를 활용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한한 GK-차원을 가진 연결된 등급 호프 대수의 호모로지적 성질(예: 정규성, 전역 차원)은 무엇인가요?
• RQ2 유한 차원 리 대수의 보편 포괄 대수와 비교할 때 연결된 등급 호프 대수의 성질은 어떻게 다릅니까?
• RQ3 유한한 GK-차원을 가진 연결된 등급 호프 대수가 어떤 리 대수 𝔤에 대해 U(𝔤)와 동형이 아니게 될 수 있나요?
• RQ4 유한한 GK-차원을 가진 호프 대수 중에서 대수로서도 연결되어 있고 코알제브라로서도 연결되어 있지만 어떤 U(𝔤)와도 동형이 아닌 대수의 구조는 무엇인가요?
• RQ5 연결된 호프 대수가 다항식 항등식을 만족시키는 조건은 무엇인가요?

주요 결과

• 유한한 겔프란드-키릴로프 차원 n을 가진 연결된 등급 호프 대수는 노에테리안 도메인, 코헨-맥컬레이, 아르틴-슐레터 정규, 전역 차원 n을 가진 아우슬란더 정규이다.
• 해당 대수는 S² = Id를 만족하며, 차원 n을 가진 칼라비-야우이다.
• 유한한 GK-차원을 가진 연결된 등급 호프 대수의 힐베르트 급수는 유리수이며 특정한 대칭 성질을 만족한다.
• 연결된 호프 대수가 다항식 항등식을 만족하는 것은 정확히 그것이 교환 다항대수일 때이다.
• 유한한 GK-차원을 가진 5차원 연결된 등급 호프 대수 중에서 코알제브라로서 연결되어 있지만 어떤 리 대수 𝔤에 대해서도 U(𝔤)와 동형이 아닌 것이 존재한다.
• 유한한 GK-차원을 가진 연결된 호프 대수의 기저 코알제브라 구조는 전역 차원 n을 가진 아르틴-슐레터 정규이다.