[논문 리뷰] Conserving symmetries in Bose-Einstein condensate dynamics requires many-body theory

Kaspar Sakmann, Jörg Schmiedmayer|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 11.

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 보스-아인슈타인 응축물(Bose-Einstein condensate, BEC) 역학에서 널리 사용되는 그로스-피타스키(Gross-Pitaevskii, GP) 평균장 이론이, 조성 및 상호작용 에너지가 무시 가능할지라도 평균장 근사로 인해 기본 보존법칙—예를 들어 각운동량 및 선형운동량—을 위반함을 보여준다. 저자들은 분석적으로 및 수치적으로, 시간 진화에서 이러한 대칭성을 일관되게 복원할 수 있는 유일한 이론은 다체 이론, 예를 들어 보스를 위한 다구성상태 시간의존 하트리 이론(Multiconfigurational Time-Dependent Hartree for Bosons, MCTDHB)임을 밝혀낸다.

ABSTRACT

We explain from first principles why satisfying conservation laws in Bose Einstein condensate dynamics requires many-body theory. For the Gross-Pitaevskii mean-field we show analytically and numerically that conservation laws are violated. We provide examples for angular momentum and linear momentum conservation. Arbitrarily large violations occur despite negligible depletion and interaction energy. For the case of angular momentum we show through extensive many-body simulations how the conservation law can be gradually restored on the many-body level. Implications are discussed.

연구 동기 및 목표

• 보존법칙이 BEC 역학에서 다체 이론이 필요한 이유를 기본 원리에서 밝히는 것.
• 광범위하게 사용되고 있음에도 불구하고 그로스-피타스키(GP) 평균장 접근법에서 보존법칙 위반이 발생하는 근본 원인을 규명하는 것.
• 조성 및 상호작용 에너지가 무시 가능할 경우에도 각운동량 및 선형운동량 보존법칙 위반이 발생함을 분석적·수치적으로 보여주는 것.
• 보스를 위한 다구성상태 시간의존 하트리 이론(MCTDHB) 방법이 다체 상호작용을 통해 보존법칙을 점차로 복원하는 방식을 보여주는 것.
• 시간에 독립적인 ⟨P²⟩가 운동에너지 보존을 의미한다는 오해를 명확히 하여, 상호작용 다체계에서는 운동에너지가 보존되지 않음을 보여주는 것.

제안 방법

• 시간에 의존하는 변분원리(디랙-프렌켈 형식)를 사용하여 시간에 의존하는 오비탈을 가진 다체 파동함수의 운동방정식을 유도한다.
• 다체적 기술을 허용하는 보스를 위한 다구성상태 시간의존 하트리 이론(MCTDHB) 앙상블을 적용하여 오비탈과 계수를 모두 변형시킨다.
• 각운동량(Lz) 및 운동량(P)과 같은 보존 관측량의 고차수 모멘트(최대 제3차까지)의 시간 도함수를 분석하여 GP 이론에서의 명백한 위반을 보여준다.
• 감소된 밀도 행렬을 사용하여 GP 이론에서 d⟨Aⁿ⟩/dt의 정확한 표현을 유도하여, 기여항이 N² 비례로 증가하고 시간에 의존하는 기대값을 유도함을 밝힌다.
• MCTDHB를 사용한 광범위한 수치 시뮬레이션을 수행하여 다체 상호작용이 포함될수록 보존법칙이 점차 복원됨을 보여준다.
• 특정 초기 상태에서 보존법칙 위반을 분리하고 계산하기 위해, 캐피드 가우시안 파동패킷을 사용한 가상실험(Gedankenexperimente)을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그로스-피타스키 평균장 이론이 BEC 역학에서 각운동량 및 선형운동량 보존법칙을 위반하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 정확한 이론이 이를 유지함에도 불구하고, 다체 해밀토니안의 대칭성에서 유도된 보존법칙이 평균장 근사에서 실패하는 이유는 무엇인가?
• RQ3 보스를 위한 다구성상태 시간의존 하트리 이론(MCTDHB) 방법이 시간 진화에서 이러한 대칭성을 어느 정도 복원할 수 있는가?
• RQ4 상호작용 다체계에서 ⟨P²⟩의 시간 독립성이 운동에너지 보존을 암시하는 데서 오해가 되는 이유는 무엇인가?
• RQ5 두체 및 삼체 감소 밀도 행렬의 기여가 어떻게 보존 연산자의 고차수 모멘트에서 N² 비례의 위반을 유도하는가?

주요 결과

• 조성 및 상호작용 에너지가 무시 가능할지라도, GP 이론에서 시간에 의존하는 ⟨Lz³⟩를 통해 각운동량 보존법칙 위반이 발생함을 보여준다.
• 캐피드 가우시안 초기 상태에서 d⟨Lz³⟩/dt = N²λ(3k²x₀y₀)/(2πσ₀²)이며, 이는 제3차 모멘트에서의 명백한 시간 의존성과 보존법칙 위반을 증명한다.
• 유사하게, GP 이론에서 ⟨P³⟩의 시간 도함수는 0이 아니며, d⟨P³⟩/dt = N²λ(12p₀²x₀)/√(2πσ₀²)로 표현되며, 이는 운동량 보존법칙 위반을 보여준다.
• 이 위반은 두체 및 삼체 감소 밀도 행렬의 기여로 인해 발생하며, 이 기여항은 N² 비례로 증가하고 평균장 근사에서는 존재하지 않는다.
• MCTDHB 시뮬레이션 결과, 다체 상호작용이 포함될수록 보존법칙이 점차 복원됨을 확인하여, 오직 전체 다체 이론만이 대칭성을 유지함을 입증한다.
• 운동에너지가 상호작용 다체계에서 보존되지 않으며, 총 운동량 보존에도 불구하고 P² ≠ 2T 이고, 운동량 및 상호작용 항이 교환되지 않기 때문에 [T, H] ≠ 0 이다.