[논문 리뷰] Consistency of the Adiabatic Theorem

M. S. Sarandy, Lian-Ao Wu외 1명|ArXiv.org|2004. 05. 12.

Quantum chaos and dynamical systems인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 양자 아디아바틱 정리에서 주장된 모순을 해결한다. 이는 잘못된 가정으로 인해 발생하는 것으로, 아디아바틱 파동함수는 초기 고유상태에 머물러 있다는 것이 아니라 순간 고유상태로 진화하면서 베리 위상(geometric phase)을 획득하기 때문이다. 저자들은 표준 아디아바틱 조건(해밀토니안의 시간도와 에너지 갭의 행렬원소를 포함)을 올바르게 적용할 경우 정리가 일관됨을 재확인한다.

ABSTRACT

We review the quantum adiabatic approximation for closed systems, and its recently introduced generalization to open systems (M.S. Sarandy and D.A. Lidar, e-print quant-ph/0404147). We also critically examine a recent argument claiming that there is an inconsistency in the adiabatic theorem for closed quantum systems [K.P. Marzlin and B.C. Sanders, Phys. Rev. Lett. 93, 160408 (2004)] and point out how an incorrect manipulation of the adiabatic theorem may lead one to obtain such an inconsistent result.

연구 동기 및 목표

• 최근 닫힌 양자 시스템에 대한 아디아바틱 정리의 모순 주장, 특히 Marzlin과 Sanders(2004)의 주장에 대응하기 위해.
• 모순을 일으키는 잘못된 가정을 규명함으로써 아디아바틱 정리의 정확한 적용을 명확히 하기 위해.
• 파동함수가 순간 고유상태로 진화하고 기하 위상을 획득하도록 정의될 경우 아디아바틱 정리의 일관성을 재확인하기 위해.
• 유니터리 진화가 더 이상 성립하지 않는 열린 양자 시스템으로 아디아바틱 근사의 일반화를 위해 마스터 방정식 생성자의 조르당 표준형을 사용하여 분석을 확장하기 위해.
• 아디아바틱 조건의 엄밀한 유도를 제공하고, 이를 순간 고유상태에 사영하여 그 타당성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 시간에 의존하는 슈뢰딩거 방정식에서 유니터리 변환을 통해 순간 고유기저로 변환함으로써 아디아바틱 조건을 유도한다.
• 아디아바틱 조건 적용: $\max_t \left| \frac{\langle k|\dot{H}|n\rangle}{g_{nk}} \right| \ll \min_t |g_{nk}| $, 여기서 $g_{nk}$ 는 에너지 갭이다.
• 아디아바틱 파동함수는 $|\psi(t)\rangle = e^{-i\int^{t} E_0} e^{i\beta_0} |E_0(t)\rangle$ 이어야 하며, 여기서 $\beta_0 = i\int \langle E_0|\dot{E}_0\rangle dt$ 는 베리 위상이다.
• 잘못된 해 $|\psi(t)\rangle = e^{-i\int^{t} E_0} |E_0(t_0)\rangle$ 는 $H(t)$ 의 순순간 고유상태가 되는 조건을 위반함을 보여준다.
• 순간 고유기저에 아디아바틱 조건을 사영함으로써 일관성을 증명하며, $n \neq 0$ 인 경우 $\left| \frac{\langle E_n|\dot{E}_0\rangle}{E_0 - E_n} \right| \ll 1$ 이 성립함을 보인다.
• 리드블라드 생성자의 조르당 표준형을 사용하여 열린 시스템으로 아디아바틱 근사를 일반화하며, 고유상태 대신 독립적으로 진화하는 리드블라드-조르당 블록을 도입한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Marzlin과 Sanders가 제기한 아디아바틱 정리의 모순은 무엇이 원인인가?
• RQ2 왜 해 $|\psi(t)\rangle = e^{-i\int^{t} E_0} |E_0(t_0)\rangle$ 는 아디아바틱 조건과 불일치하는가?
• RQ3 해밀토니안이 천천히 변화할 경우, 닫힌 양자 시스템에 아디아바틱 정리를 어떻게 올바르게 적용할 수 있는가?
• RQ4 슈뢰딩거 방정식과 고유상태 조건을 모두 만족하는 아디아바틱 파동함수의 정확한 형태는 무엇인가?
• RQ5 유니터리 진화가 성립하지 않는 열린 양자 시스템으로 아디아바틱 근사는 어떻게 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• Marzlin과 Sanders가 주장한 모순은 아디아바틱 파동함수가 초기 고유상태 $|E_0(t_0)\rangle$ 에 머물러 있다는 잘못된 가정에서 비롯된다. 실제로는 순간 고유상태 $|E_0(t)\rangle$ 와 함께 진화해야 한다.
• 정확한 아디아바틱 파동함수는 $|\psi(t)\rangle = e^{-i\int^{t} E_0} e^{i\beta_0} |E_0(t)\rangle$ 이며, 여기서 $\beta_0$ 는 베리 위상으로, 이로 인해 $H(t)$ 의 순순간 고유상태로 유지된다.
• 잘못된 해는 물리적으로 비현실적인 조건 $e^{i\beta_0} \langle E_0(t_0)|E_0(t)\rangle = 1$ 을 야기하며, 이는 시스템이 정적일 경우를 제외하고는 아디아바틱 조건을 위반한다.
• 표준 프레임워크에서 아디아바틱 진동의 필요조건이자 충분조건인 아디아바틱 조건 $\left| \frac{\langle E_n|\dot{E}_0\rangle}{E_0 - E_n} \right| \ll 1$ (단, $n \neq 0$) 이 성립한다.
• 적절하게 적용될 경우 아디아바틱 정리는 일관성을 유지하며, 이 전도적인 모순은 고유상태의 시간 진화를 忽略한 잘못된 적용에서 비롯된다.
• 마스터 방정식 생성자의 조르당 표준형을 사용하여 아디아바틱 근사를 열린 시스템으로 일반화하였으며, 고유상태 대신 독립적으로 진화하는 리드블라드-조르당 블록을 도입하였다.