[论文解读] Constant-Soundness Interactive Proofs for Local Hamiltonians

Anand Natarajan, Thomas Vidick|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于局部哈密顿量问题的常数错误概率量子多证明者交互式证明系统，通过量子线性测试来验证非局域纠缠的证明者。该协议的错误概率间隙与基态能量中的承诺间隙成正比，为实现具有常数间隙和常数答案长度的量子PCP定理提供了关键一步。

ABSTRACT

$ ewcommand{\Xlin}{\mathcal{X}} ewcommand{\Zlin}{\mathcal{Z}} ewcommand{\C}{\mathbb{C}} $We give a quantum multiprover interactive proof system for the local Hamiltonian problem in which there is a constant number of provers, questions are classical of length polynomial in the number of qubits, and answers are of constant length. The main novelty of our protocol is that the gap between completeness and soundness is directly proportional to the promise gap on the (normalized) ground state energy of the Hamiltonian. This result can be interpreted as a concrete step towards a quantum PCP theorem giving entangled-prover interactive proof systems for QMA-complete problems. The key ingredient is a quantum version of the classical linearity test of Blum, Luby, and Rubinfeld, where the function $f:\{0,1\}^n o\{0,1\}$ is replaced by a pair of functions $\Xlin, \Zlin:\{0,1\}^n o ext{Obs}_d(\C)$, the set of $d$-dimensional Hermitian matrices that square to identity. The test enforces that (i) each function is exactly linear, $\Xlin(a)\Xlin(b)=\Xlin(a+b)$ and $\Zlin(a) \Zlin(b)=\Zlin(a+b)$, and (ii) the two functions are approximately complementary, $\Xlin(a)\Zlin(b)\approx (-1)^{a\cdot b} \Zlin(b)\Xlin(a)$.

研究动机与目标

• 为局部哈密顿量问题开发一种具有常数错误概率的量子多证明者交互式证明系统。
• 实现错误概率间隙与哈密顿量归一化基态能量中承诺间隙成正比的错误概率。
• 通过构建常数答案长度和多项式问题长度的协议，为量子PCP定理提供具体进展。
• 将Blum、Luby和Rubinfeld的经典线性测试推广到涉及非对易泡利型算符的量子设置。
• 通过张量化实现局部哈密顿量问题的间隙放大，从而在非局域情形下实现常数间隙验证。

提出的方法

• 引入一种量子线性测试，其中函数X和Z将比特串映射为d维厄米特矩阵，满足X(a)X(b) = X(a+b)和Z(a)Z(b) = Z(a+b)，以强制线性性。
• 通过关系X(a)Z(b) ≈ (−1)^{a·b} Z(b)X(a)强制X与Z之间的互补性，模拟典范对易关系。
• 设计一种单轮交互协议，使用经典问题和常数长度的量子答案，结合编码测试与能量测量测试。
• 采用混合策略：以概率(1−p)通过编码测试验证逻辑泡利算符；以概率p对基态执行能量测量测试。
• 通过张量化哈密顿量应用间隙放大过程，将小能量间隙实例转换为常数间隙的非局域实例。
• 利用已知结果QMA ⊆ MIP*，并通过调节能量测试概率p = Θ(δ^c)使协议实现常数错误概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为局部哈密顿量问题构建一种具有常数错误概率和常数答案长度的量子多证明者交互式证明系统？
• RQ2 能否设计一种量子线性测试，以强制非阿贝尔算符的线性性与互补性，从而验证逻辑泡利操作？
• RQ3 该协议的错误概率间隙是否可与哈密顿量基态能量的承诺间隙成正比？
• RQ4 在间隙放大后，当哈密顿量为非局域时，该协议在纠缠证明者下是否仍保持错误概率？
• RQ5 能否通过使用常数答案长度协议的多人博弈变体来接近量子PCP猜想？

主要发现

• 协议实现了完备性与错误概率界限，其中成功概率的间隙与基态能量间隙成正比：|c₁ − c₂δ^cλ_min(H) ≤ ω*(H) ≤ c₁ − c₂δ^cλ_min(H) + δ|。
• 对于任意δ > 0，选择p = Θ(δ^{15/16})可确保任何作弊策略的成功概率不会超过诚实策略的成功概率δ以上。
• 能量测试通过的概率至多为1/2 + 1/2(1 − 1/4λ_min(H) − 1/(2m)∑|α_ℓ|)，该值直接依赖于基态能量。
• 通过张量化实现的间隙放大将哈密顿量H（满足λ_min(H) ≥ 1/q）转换为H′，使得若λ_min(H) ≥ 1/q，则λ_min(H′) ≥ 1；若λ_min(H) ≤ 1/p，则λ_min(H′) ≤ 1/2，其中p(n) > q(n)为多项式。
• 在间隙放大后，该协议对非局域哈密顿量依然有效，实现了在常数答案长度下对非局域实例的常数错误概率验证。
• 该结果支持量子PCP猜想的多人博弈变体，表明QMA ⊆ MIP*，且具有常数答案长度和常数错误概率间隙。