[논문 리뷰] Constrained BSDE and Viscosity Solutions of Variation Inequalities

Shigē Péng, Mingyu Xu|ArXiv.org|2007. 12. 03.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 8인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 제약 조건이 있는 역방향 확률미분방정식(constrained backward stochastic differential equation, BSDE)의 최소 g-초해석과 제약 조건이 있는 비선형 포아송 편미분방정식(semilinear parabolic PDE), 즉 변형부등식(variation inequality)의 점성해법 사이의 연결 고리를 설정한다. 존재성은 제약 조건이 있는 BSDE를 통해 증명하고, 제약 함수에 대한 리프시츠 조건과 엄격한 단조성 조건 하에서 유일성을 확보한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the relation between the smallest $g$-supersolution of constraint backward stochastic differential equation and viscosity solution of constraint semilineare parabolic PDE, i.e. variation inequalities. And we get an existence result of variation inequalities via constraint BSDE, and prove a uniqueness result under certain condition.

연구 동기 및 목표

• 제약 조건이 있는 비선형 포화 PDE(변형부등식)의 점성해법에 대한 확률적 표현을 제약 조건이 있는 BSDE를 통해 수립하는 것.
• 제약 조건이 있는 BSDE의 최소 g-초해석을 통해 변형부등식의 점성해법이 존재함을 증명하는 것.
• 제약 함수에 추가적인 정규성과 단조성 조건이 있을 경우 점성해법의 유일성을 확립하는 것.
• 제약 함수가 리프시츠 함수로 정의된 일반적인 제약 집합에 대해 점성해법의 확률적 해석을 확장하는 것.

제안 방법

• 제약 함수 $\Phi \geq 0$를 갖는 제약 조건이 있는 BSDE를 설정하여, 해 $Y_t^{t,x}$ 가 $\Phi$로 정의된 주어진 집합 안에 유지되도록 한다.
• 제약 조건을 이행하기 위해 최소 증가과정 $A_t^{t,x}$ 를 사용하여, 해가 제약 조건을 지배하는 최소 g-초해석임을 보장한다.
• 점성해법 이론을 적용하기 위해, 제약 위반에 대한 벌점이 부여된 파라미터 $\alpha$ 에 대해 $\alpha \to \infty$ 일 때의 해의 극한인 $u_\alpha(t,x) = Y_t^{t,x,\alpha}$ 를 분석한다.
• 벌점 방법을 사용하여 제약 조건이 있는 PDE를 $F_\alpha = F_0 + \alpha \Phi^-$ 를 갖는 비제약 조건 PDE의 수열로 근사한다.
• 점성하위해법 및 점성상위해법 조건을 검증하기 위해, $\mathcal{P}^{2,+}$ 와 $\mathcal{P}^{2,-}$ 의 임계점 성질과 비교 원리를 활용한다.
• 원래 PDE의 점성상위해법이 항상 벌점 PDE의 상위해법이 되므로, 비교 논증을 통해 유일성을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제약 조건이 있는 BSDE의 최소 g-초해석은 해당 변형부등식의 점성해법으로 특성화될 수 있는가?
• RQ2 제약 조건이 있는 PDE의 점성해법이 BSDE 접근법을 통해 언제 존재하는가?
• RQ3 제약 조건이 있는 PDE의 점성해법의 유일성을 보장하기 위해 어떤 추가 가정이 필요한가?
• RQ4 벌점 방법 $F_\alpha = F_0 + \alpha \Phi^-$ 는 점성해법의 수렴과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 $\Phi$ 가 $y$ 에 대해 엄격히 증가함에 따라 점성해법의 유일성 확보에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 제약 조건이 있는 BSDE의 최소 g-초해석은 각 $\alpha$ 에 대해 벌점 PDE $\partial_t u + F_\alpha = 0$ 의 불연속적인 점성상위해법임을 보였다.
• 극한 $u(t,x) = \lim_{\alpha \to \infty} u_\alpha(t,x)$ 는 하부연속함수이며, 제약 조건 $\Phi \geq 0$ 를 갖는 원래 변형부등식 $\partial_t u + F_0 = 0$ 을 만족한다.
• 함수 $u(t,x)$ 는 점성해법임을 증명하였으며, 하위해법 및 상위해법 조건을 모두 만족한다.
• 해 $u(t,x)$ 는 변형부등식의 최소 점성상위해법이며, 이는 다른 어떤 점성상위해법이라도 이 해를 지배함을 의미한다.
• 만약 $g$ 가 $x$ 에 대해 국소 리프시츠 조건을 만족하고 모듈러스 $m_R$ 을 갖으며, $\Phi$ 가 $y$ 에 대해 엄격히 증가함을 추가로 가정할 경우, 변형부등식은 최대 하나의 국소 유계 점성해법을 갖는다.
• 유일성 결과는 비교 논증을 통해 확립되었으며, 원래 PDE의 점성상위해법이 반드시 해 $u(t,x)$ 를 지배함을 보여, $u$ 가 최소이자 유일함을 증명한다.