[논문 리뷰] Constructing absolute maximally entangled states and optimal quantum error correcting codes

Zahra Raissi, Christian Gogolin외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 12.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 국소 차원 $ q \geq n-1 $, 소수의 거듭제곱인 경우에 대해 $ n $ 당사자에 대한 절대 최대 얽힘(AME) 상태를 고전적 최대거리분리(MDS) 코드와의 연결을 통해 구성한다. AME 상태에 대한 스태빌라이저 형식을 개발하고, 짝수 $ n $ 에 대해 $[\![n,1,n/2]\!]_q$ 양자 오류정정 코드의 가족을 구성하며, 수치적 증거로 지지되는 추측 하에 양자 싱글턴 경계를 달성한다.

ABSTRACT

Absolutely maximally entangled (AME) states are pure multi-partite generalizations of the bipartite maximally entangled states with the property that all reduced states of at most half the system size are in the maximally mixed state. AME states are of interest for multipartite teleportation and quantum secret sharing and have recently found new applications in the context of high-energy physics in toy models realizing the AdS/CFT-correspondence. We work out in detail the connection between AME states of minimal support and classical maximum distance separable (MDS) error correcting codes and, in particular, provide explicit closed form expressions for AME states of $n$ parties with local dimension $q$ a power of a prime for all $q \geq n-1$. Building on this, we construct a generalization of the Bell-basis consisting of AME states and develop a stabilizer formalism for AME states. For every $q \geq n-1$ prime we show how to construct QECCs that encode a logical qudit into a subspace spanned by AME states. Under a conjecture for which we provide numerical evidence, this construction produces a family of quantum error correcting codes $[\![n,1,n/2]\!]_q$ for $n$ even, saturating the quantum Singleton bound. We show that our conjecture is equivalent to the existence of an operator whose support cannot be decreased by multiplying it with stabilizer products and explicitly construct the codes up to $n = 8$.

연구 동기 및 목표

• 최소 지지 집합을 가진 AME 상태와 고전적 MDS 코드 사이의 정확한 대응 관계 수립.
• 국소 차원 $ q \geq n-1 $, $ q $ 가 소수의 거듭제곱인 $ n $ 당사자에 대해 AME 상태의 명시적 닫힌 형식의 구성 제공.
• 양자 오류정정에 사용하기 위해 AME 상태에 특화된 스태빌라이저 형식 개발.
• AME 상태에 의해 생성되는 부분공간에 하나의 논리 큐비트를 인코딩하는 양자 오류정정 코드(QECC) 구성.
• 이러한 코드가 추측에 기반하여 수치적 증거로 지지되는 조건 하에 양자 싱글턴 경계를 달성함을 보여줌.

제안 방법

• AME 상태와 고전적 MDS 코드 사이의 쌍대성 관계를 활용하여, $ \mathbb{C}^q $ 상에서 $ q \geq n-1 $, $ q $ 가 소수의 거듭제곱인 경우에 대해 AME 상태의 명시적 표현 유도.
• 유한체의 구조와 대칭 텐서 구성 기법을 사용하여 최소 지지 집합을 가진 AME 상태 생성. 이는 모든 부분계의 크기가 $ \lfloor n/2 \rfloor $ 이하일 때 최대 얽힘 보장.
• 국소 연산 하에서 AME 성질을 유지하는 생성자들을 식별함으로써, AME 상태에 대한 스태빌라이저 형식 도입.
• 모든 성분이 AME 상태로 이루어진 일반화된 벨 기저 구성. 이는 양자 정보 프로토콜에 필요한 완전한 최대 얽힘 자원 상태 집합 제공.
• AME 상태에 의해 생성되는 부분공간에 논리 큐비트를 인코딩함으로써 $[\![n,1,n/2]\!]_q$ 코드의 가족 유도. 코드 거리 $ d = n/2 $.
• 비결정적 연산자가 존재함을 경험적으로 검증함. 이 연산자의 지지 집합은 스태빌라이저 곱으로 줄일 수 없으며, 이는 코드 최적성에 기반한 추측을 지지함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 차원 $ q \geq n-1 $, $ q $ 가 소수의 거듭제곱인 경우에 대해, $ n $ 당사자에 대한 최소 지지 집합을 가진 AME 상태를 체계적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 AME 상태와 고전적 MDS 코드 사이의 정확한 대수적 연결 고리는 무엇이며, 이를 통해 명시적 상태 형태를 어떻게 생성할 수 있는가?
• RQ3 AME 상태를 다룰 수 있도록 스태빌라이저 형식을 어떻게 적응시킬 수 있는가? 이는 양자 오류정정에 활용될 수 있다.
• RQ4 구성된 QECC가 양자 싱글턴 경계를 달성하는가? 이 최적성은 어떤 조건에서 보장되는가?
• RQ5 최적성의 존재를 암시하는 구조적 장애물—즉, 감소할 수 없는 연산자의 지지 집합—이 존재하는가?

주요 결과

• 유한체 구성 기법을 사용하여, 국소 차원 $ q \geq n-1 $, $ q $ 가 소수의 거듭제곱인 $ n $ 당사자에 대한 AME 상태의 명시적 닫힌 형식 표현 유도.
• 모든 성분이 AME 상태로 이루어진 일반화된 벨 기저 구성. 이는 양자 네트워크에서 필요한 완전한 최대 얽힘 자원 상태 집합 제공.
• AME 상태에 대한 스태빌라이저 형식 개발. 이는 그들의 얽힘 성질에 대한 체계적 조작 및 검증 가능하게 함.
• 모든 소수 $ q \geq n-1 $ 에 대해, 하나의 논리 큐비트를 AME 상태에 의해 생성되는 부분공간에 인코딩하는 $[\![n,1,n/2]\!]_q$ 양자 오류정정 코드의 가족 구성.
• 수치적 증거로 지지되는 추측 하에, 이러한 코드는 양자 싱글턴 경계를 달성함을 보여주며, 거리와 비율 측면에서 최적성을 시사함.
• 코드는 $ n = 8 $ 까지 명시적으로 구성되었으며, 이 추측은 스태빌라이저 곱으로 줄일 수 없는 지지 집합을 가진 연산자의 존재와 동치임을 증명함.