[논문 리뷰] Constructing Large Matchings via Query Access to a Maximal Matching Oracle

Sepehr Assadi, Deeparnab Chakrabarty외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 01.

Sparse and Compressive Sensing Techniques참고 문헌 56인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 선형 및 OR 쿼리 모델에서 그래프 연결성과 단일 요소 복구 문제에 대해 쿼리 복잡도와 적응 라운드 수의 상호 상관 관계를 연구한다. OR 쿼리 모델을 사용한 그래프 연결성에 대해 O(r)-라운드, Õ(n¹⁺¹ᐟʳ)-쿼리 알고리즘을 제시하며, 거의 날카로운 하한값과 일치하고, Cross 쿼리를 사용한 랜덤화된 1라운드 eO(n)-쿼리 알고리즘을 제안하여 이전의 비적응적 방법에 비해 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

Multi-pass streaming algorithm for Maximum Matching have been studied since more than 15 years and various algorithmic results are known today, including 2-pass streaming algorithms that break the 1/2-approximation barrier, and (1-ε)-approximation streaming algorithms that run in O(poly 1/ε) passes in bipartite graphs and in O((1/ε)^(1/ε)) or O(poly (1/ε) ⋅ log n) passes in general graphs, where n is the number of vertices of the input graph. However, proving impossibility results for such algorithms has so far been elusive, and, for example, even the existence of 2-pass small space streaming algorithms with approximation factor 0.999 has not yet been ruled out. The key building block of all multi-pass streaming algorithms for Maximum Matching is the Greedy matching algorithm. Our aim is to understand the limitations of this approach: How many passes are required if the algorithm solely relies on the invocation of the Greedy algorithm? In this paper, we initiate the study of lower bounds for restricted families of multi-pass streaming algorithms for Maximum Matching. We focus on the simple yet powerful class of algorithms that in each pass run Greedy on a vertex-induced subgraph of the input graph. In bipartite graphs, we show that 3 passes are necessary and sufficient to improve on the trivial approximation factor of 1/2: We give a lower bound of 0.6 on the approximation ratio of such algorithms, which is optimal. We further show that Ω(1/ε) passes are required for computing a (1-ε)-approximation, even in bipartite graphs. Last, the considered class of algorithms is not well-suited to general graphs: We show that Ω(n) passes are required in order to improve on the trivial approximation factor of 1/2.

연구 동기 및 목표

• 선형 및 OR 쿼리 모델에서 그래프 연결성과 단일 요소 복구 문제에 대해 적응 라운드 수와 쿼리 복잡도의 상호 상관 관계를 이해하는 것.
• OR 쿼리 모델에서 결정론적 및 랜덤화 알고리즘에 대한 날카로운 하한값을 확립하는 것.
• Cross 및 BIS 쿼리와 같은 자연스러운 그래프 쿼리 모델을 사용하여 그래프 연결성에 대해 효율적인 알고리즘을 설계하는 것.
• 쿼리 복잡도, 스케치, 스트리밍, 압축 감지 간의 연결 고리를 이끌어내기 위해 이러한 모델에서의 기본 문제를 연구하는 것.

제안 방법

• 구조화된 쿼리 액세스를 활용하여 그래프 연결성 문제를 단일 요소 복구 문제로의 새로운 감소를 사용한다.
• 적응적 부분집합 쿼리를 통해 연결성 검사를 시뮬레이션함으로써 OR 쿼리를 사용한 결정론적 r라운드 알고리즘을 설계한다.
• 에지 컷을 효율적으로 샘플링하여 연결성을 테스트하는 데 사용되는 Cross 쿼리를 사용한 랜덤화된 1라운드 알고리즘을 구현한다.
• 정보 이론적 추론과 조합적 그룹 테스팅에서 알려진 어려운 문제로의 감소를 통해 날카로운 하한값을 증명한다.
• 단일 요소 복구 문제의 선형 쿼리 복잡도를 분석하기 위해 압축 감지 및 동전 무게 측정 기법을 적용한다.
• 각 라운드에서 검색 공간을 줄이기 위해 재귀적 분할 전략을 사용하여 라운드 간 쿼리 사용을 최소화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 OR 쿼리 모델에서 그래프 연결성을 해결하는 데 있어 결정론적 알고리즘의 적응 라운드 수와 쿼리 복잡도 사이의 최적 상호 상관 관계는 무엇인가?
• RQ2 랜덤화 알고리즘은 OR 또는 Cross 쿼리를 사용하여 단일 라운드 내에서 부분선형 쿼리 복잡도를 달성할 수 있는가?
• RQ3 선형 및 OR 쿼리를 사용한 r라운드 결정론적 및 랜덤화 설정에서 단일 요소 복구의 쿼리 복잡도는 얼마인가?
• RQ4 그래프 연결성 문제에서 Cross 및 BIS 쿼리는 일반적인 OR 및 선형 쿼리에 비해 얼마나 강력한가?
• RQ5 결과를 제한된 메모리와 패ass 수가 있는 동적 또는 반스트리밍 환경으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• OR 쿼리를 사용한 결정론적 r라운드 알고리즘은 Õ(n¹⁺¹ᐟʳ) 쿼리를 요구하며, 이는 ˜Ω(n¹⁺¹ᐟʳ) 하한값과 거의 일치하므로 거의 날카로운 것으로 판명된다.
• Cross 쿼리를 사용한 랜덤화된 1라운드 알고리즘은 오직 eO(n) 쿼리만 사용하며, 이는 이전의 비적응적 방법에 비해 크게 향상된 결과이다.
• 단일 요소 복구 문제에서, 어떤 r라운드 결정론적 알고리즘도 어느 한 라운드에서 최소 (N¹ᐟʳ − 1)개의 선형 쿼리를 사용해야 하며, 이는 상한값과 정확히 일치한다.
• O(polylog(N)) 쿼리로 동작하는 단일 요소 복구 문제에 대한 랜덤화된 1라운드 알고리즘이 존재하여 결정론적 접근에 비해 뚜렷한 이점이 있음을 보여준다.
• 이 논문은 그래프 연결성 문제에 대해 1라운드 랜덤화 알고리즘이 eΩ(n²)의 OR 쿼리가 필요하다는 것을 입증하며, 적응성의 강력함을 부각시킨다.
• 결과는 O(log n)번의 패ass와 O(n¹⁺¹ᐟʳ)의 공간을 사용하여 스펜딩 포레스트를 유지하는 새로운 결정론적 반스트리밍 알고리즘의 존재를 암시한다.