[논문 리뷰] Constructing regular ultrafilters from a model-theoretic point of view

M. Malliaris, Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 06.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 기하학적 초수의 모델이론적 성질을 조사하며, 불안정 이론의 포화성과 집합론적 제약 조건과 모델이론적 강도 간의 상호작용을 중심으로 한다. 가측성 카디널 κ에 대해 λ ≥ 2^κ 인 정규 초수를 구성하여, 그 초수가 탄력적일 수는 있지만 양호하지 않으며, 높은 lcf(ℵ₀)를 가지지만 무작위 그래프를 포화시키지 못함을 보여, 키플러 순서에서 초수 성질의 계층에 관한 핵심 질문들을 해결한다.

ABSTRACT

This paper contributes to the set-theoretic side of understanding Keisler's order. We consider properties of ultrafilters which affect saturation of unstable theories: the lower cofinality $\lcf(\aleph_0, \de)$ of $\aleph_0$ modulo $\de$, saturation of the minimum unstable theory (the random graph), flexibility, goodness, goodness for equality, and realization of symmetric cuts. We work in ZFC except when noted, as several constructions appeal to complete ultrafilters thus assume a measurable cardinal. The main results are as follows. First, we investigate the strength of flexibility, detected by non-low theories. Assuming $κ> \aleph_0$ is measurable, we construct a regular ultrafilter on $λ\geq 2^κ$ which is flexible (thus: ok) but not good, and which moreover has large $\lcf(\aleph_0)$ but does not even saturate models of the random graph. We prove that there is a loss of saturation in regular ultrapowers of unstable theories, and give a new proof that there is a loss of saturation in ultrapowers of non-simple theories. Finally, we investigate realization and omission of symmetric cuts, significant both because of the maximality of the strict order property in Keisler's order, and by recent work of the authors on $SOP_2$. We prove that for any $n < ω$, assuming the existence of $n$ measurable cardinals below $λ$, there is a regular ultrafilter $D$ on $λ$ such that any $D$-ultrapower of a model of linear order will have $n$ alternations of cuts, as defined below. Moreover, $D$ will $λ^+$-saturate all stable theories but will not $(2^κ)^+$-saturate any unstable theory, where $κ$ is the smallest measurable cardinal used in the construction.

연구 동기 및 목표

• 키플러 순서 내에서 초수 성질의 계층—탄력성, 양호성, 포화성—을 명확히 하며, 특히 불안정 이론에 대해 다룬다.
• 특히 가측성 카디널의 맥락에서 탄력성이 양호성 또는 포화성으로 이어지는 정도를 조사한다.
• 오랫동안 미해결이었던 집합론과 모델이론의 문제, 즉 '좋음'이란 조건이 '양호함'을 의미하는지 여부, 그리고 비저하 이론이 키플러 순서에서 최대성을 유도하는지 여부를 해결한다.
• 선형 순서의 초곱에서 대칭적 컷의 실현과 생략을 분석하여, 이와 엄격한 순서 성질 및 SOP₂와의 연관성을 규명한다.
• 불안정하고 비단순 이론의 초곱에서 정규 초수에 의한 포화 손실이 발생함을 보이며, 날카운 포화 경계를 확립한다.

제안 방법

• 가측성 카디널 κ > ℵ₀를 사용하여 λ ≥ 2^κ 에서 정규 초수를 구성하며, κ-완전하지만 κ⁺-완전하지 않은 초수를 통해 탄력성을 확보한다.
• Loś의 정리를 L_{κ,κ} 및 κ-완전성과 함께 활용하여 초곱에서 유형 실현 및 컷 행동을 분석한다.
• P_{ℵ₀}(λ)에서 초수로의 함수의 곱셈적 개선을 활용하여 비표준 원소 이하의 정규화 가족을 구성한다.
• λ-탄력성과 λ-OK 개념을 적용하여, 탄력성과 이러한 정규화 가족의 존재가 동치임을 보인다.
• 선형 순서의 초곱에서 대칭적 컷을 분석하기 위해 κ-완전 초수를 구성하고, n개의 가측 카디널이 λ 이하에 존재할 경우 n개의 컷 교차가 존재함을 증명한다.
• 포화 경계를 증명한다: M^κ / D 는 불안정한 M에 대해 (2^κ)⁺-포화가 아니며, M^λ / D 는 비단순한 M에 대해 λ⁺⁺-포화가 아니다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 탄력성만으로 어떤 불안정 이론의 포화를 보장할 수 있는가, 아니면 양호성 및 포화성과 분리될 수 있는가?
• RQ2 높은 lcf(ℵ₀)를 가지며 무작위 그래프를 포화시키지 못하는, 탄력적일 수는 있지만 양호하지 않은 정규 초수를 구성할 수 있는가?
• RQ3 ZFC에서 '좋음'(탄력성)이 '양호함'을 의미하는가, 아니면 이는 독립적인가, 특히 가측성 카디널 하에서의 경우에 대해 어떻게 되는가?
• RQ4 정규 초수 하에서 불안정하고 비단순 이론의 초곱의 정확한 포화 행동은 어떠한가?
• RQ5 κ-완전하고 정상 초수 하에서 선형 순서의 초곱에서 대칭적 컷은 어떻게 행동하는가, 그리고 이는 SOP₂와 어떤 관련이 있는가?

주요 결과

• 가측성 카디널 κ > ℵ₀에 대해, λ ≥ 2^κ 에서 정규 초수를 구성할 수 있으며, 이 초수는 탄력적일 수는 있지만 양호하지 않으며, lcf(ℵ₀) = κ 이지만 무작위 그래프를 포화시키지 못한다.
• 이 구성은 탄력성만으로는 어떤 이론의 포화를 특징지울 수 없음을 보여주며, 비저하 이론이 키플러 순서에서 최대성을 갖지 않는다는 것을 증명하기 위한 핵심 장애물을 제거한다.
• 일致적으로, ZFC에서 '좋음'이 '양호함'을 의미하지 않음을 보여주며, 다우(1985)의 문제를 해결한다. 이는 가측성 카디널을 활용하여 탄력성과 양호성을 분리함으로써 이루어진다.
• 모든 불안정 이론 T에 대해, D 가 κ 에서 정규일 경우 M^κ / D 는 (2^κ)⁺-포화가 아니며, 날카운 포화 경계를 확립한다.
• 비단순 T 와 λ = λ^{<λ} 인 경우, M^λ / D 는 λ⁺⁺-포화가 아니며, 비단순 이론에서의 포화 손실을 증명한다.
• n < ω 인 경우, λ 이하에 n개의 가측 카디널이 존재한다고 가정할 때, λ 에서 정규 초수 D 가 존재하여, D-초곱의 선형 순서는 n개의 컷 교차를 가지며, D 는 모든 안정 이론을 λ⁺-포화하지만 어떤 불안정 이론도 포화하지 않는다.