[논문 리뷰] Constructing Sublinear Expectations on Path Space

Marcel Nutz, Ramon van Handel|RePEc: Research Papers in Economics|2012. 05. 11.

Bayesian Modeling and Causal Inference인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 측도의 가측 가족에 기반한 새로운 집약 방법을 사용하여 연속 경로 공간 위에 시간에 일관된 비선형 기댓값을 구성한다. 이는 이전에 해결되지 않았던 Borel 가측 랜덤 변수에 대한 조건부 G-기댓값의 존재성을 입증하면서, 이러한 조건부 기댓값이 Borel 가측일 필요가 없음을 보여주어, 집약 기반 구성 방식의 근본적인 한계를 드러낸다.

ABSTRACT

We provide a general construction of time-consistent sublinear expectations on the space of continuous paths. It yields the existence of the conditional G-expectation of a Borel-measurable (rather than quasi-continuous) random variable, a generalization of the random G-expectation, and an optional sampling theorem that holds without exceptional set. Our results also shed light on the inherent limitations to constructing sublinear expectations through aggregation.

연구 동기 및 목표

• 비선형 기댓값의 맥락에서 Borel 가측 랜덤 변수에 대한 조건부 G-기댓값을 구성하는 데 오랫동안 미해결된 문제를 해결하기 위해.
• 연속 경로 공간 위의 비선형 기댓값에 대해 시간에 일관되며, 탑재 성질(tower property)을 만족시키는 조건부 기댓값을 확립하기 위해.
• 비선형 기댓값 이론에서 조건부 기댓값을 집약하는 방식의 본질적 한계를 명확히 하기 위해.
• Borel 가측 랜덤 변수의 조건부 기댓값이 조건부로 평판 집합(polar sets)을 고려하더라도 Borel 가측이 아닐 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 정지 시간 τ 이후의 조건부 분포를 나타내는 확률 측도의 가족 𝒫(τ,ω)를 정의하며, Assumption 2.1 하에 가측성, 불변성, 그리고 붙이기 안정성(pasting stability)을 만족시킨다.
• ξ^{τ,ω}가 τ에서의 경로별 붙임(pasting)임을 고려하여, 𝒞τ(ξ)(ω) := sup_{P∈𝒫(τ,ω)} E^P[ξ^{τ,ω}]를 통해 조건부 기댓값을 구성한다.
• 고전적인 분석 집합 이론을 사용하여, ξ가 Borel 가측이어도 𝒞τ(ξ)가 상부 반분석적(upper semianalytic)임을 증명함으로써, 보편적으로 가측적임을 입증한다.
• 구성된 조건부 기댓값이 모든 P ∈ 𝒫에 대해 탑재 성질과 집약 조건 (1.2)를 만족함을 증명한다.
• 일반적 구성 방식을 G-기댓값과 랜덤 G-기댓값에 적용하여, 기존의 준연속 함수를 초월한 결과를 확장함을 보여준다.
• ZFC 내의 집합론적 구성 기법을 사용하여, 일부 조건부 기댓값이 Borel일 수 없음을 입증한다. 이는 입력이 유계이고 Borel 가측일지라도 성립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Borel 가측 랜덤 변수에 대해 조건부 G-기댓값을 구성할 수 있는가? (기존의 준연속 함수에 국한되지 않고.)
• RQ2 경로 공간 위의 비선형 기댓값에 대해 시간에 일관되며 탑재 성질을 만족하는 조건부 기댓값을 정의할 수 있는가?
• RQ3 비지배 측도 위에서 점별 최대값을 통한 조건부 기댓값 집약 방식의 본질적 한계는 무엇인가?
• RQ4 Borel 가측 랜덤 변수의 조건부 기댓값이 조건부로 평판 집합을 고려하더라도 Borel 가측이 아닐 수 있는가?
• RQ5 어떤 집합론적 가정 하에 조건부 기댓값의 집약 문제가 해결되지 않는가?

주요 결과

• 모든 Borel 가측 랜덤 변수에 대해 조건부 G-기댓값은 존재하며, 보편적으로 가측적이지만 반드시 Borel 가측은 아니다.
• 구성된 조건부 기댓값은 모든 P ∈ 𝒫에 대해 탑재 성질과 집약 조건 (1.2)를 만족하므로 시간에 일관된다.
• 모든 𝒞₁(ξ)에 대한 집약 문제의 해가 Borel가 아닌, 유계이고 Borel 가측인 랜덤 변수 ξ가 존재한다.
• 적절한 ZFC 모델에서, 𝒞₂(ξ)가 보편적으로 가측일지라도, 𝒞₁(−𝒞₂(ξ))의 집약 문제에 대한 해가 존재하지 않는, 유계이고 Borel 가측인 ξ가 존재한다.
• 특정 분석 집합의 실수 직선 위로의 사영이 Lebesgue 가측이 아니며, 이는 Borel 해가 존재한다고 가정할 경우 모순을 일으킨다.
• 결과적으로, 점별 최대값을 통한 조건부 기댓값 집약 방식은 일반적으로 Borel 가측 해를 도출할 수 없으며, 정규 G-기댓값 설정에서도 마찬가지다.