[논문 리뷰] Construction and Uniqueness for reflected BSDE under linear increasing condition

Guangyan Jia, Mingyu Xu|ArXiv.org|2008. 01. 24.

Differential Equations and Numerical Methods참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 생성자 $ g $ 에 대해 선형 증가 조건을 만족할 때, 한 개 또는 두 개의 장벽을 가진 반사 확률적 미분 방정식(RBSDEs)의 해가 존재하고 유일함을 증명한다. $ g + c $ 를 통한 변형 접근법을 도입하여, 해가 유일한 것은 $ c $ 에 대해 최소 해의 기대값이 연속일 때이고, 다수의 해를 가진 $ c $ 값의 집합은 최대 가чёт수임을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper, we study the uniqueness of the solution of reflected BSDE with one or two barriers, under continuous and linear increasing condition of generator $g$. Before that we study the construction of solution of of reflected BSDE with one or two barriers.

연구 동기 및 목표

• 생성자 $ g $ 에 대해 선형 증가 조건을 만족할 때, 한 개 또는 두 개의 장벽을 가진 반사 BSDE의 해가 존재하고 유일함을 증명하는 것.
• 생성자에 상수 $ c $ 를 더한 변형에 대해 해의 안정성과 연속성 분석.
• 반사 BSDE의 생성자 $ g + c $ 가 다수의 해를 가질 수 있는 $ c $ 값의 집합을 특성화하는 것.
• 기대 최소/최대 해 경로의 연속성에 기반한 유일성에 대한 충분 조건을 제공하는 것.

제안 방법

• 생성자 $ g $ 에 대해 선형 증가 조건을 만족할 때, 리프시츠 연속성의 절단 함수 $ \underline{g}_n $ 과 $ \overline{g}_n $ 를 통한 근사 방법을 사용하여 장벽이 한 개 또는 두 개인 반사 BSDE의 해를 구성하는 것.
• RBSDE의 비교 정리를 적용하여 $ g $ 와 그 근사 함수 $ \underline{g}_n $ 및 $ \overline{g}_n $ 의 해를 비교하는 것.
• 보조 함수 $ \underline{m}(t,c) = \mathbb{E}[\underline{y}_t^c] $ 과 $ \overline{m}(t,c) = \mathbb{E}[\overline{y}_t^c] $ 를 정의하여, 변형 $ c $ 에 따른 최소 및 최대 해의 기대값을 나타내는 것.
• 해가 $ g + c $ 에 대해 유일한 것은 $ \underline{m}(t,c) $ 와 $ \overline{m}(t,c) $ 가 $ c $ 에서 연속일 때이고, 이를 단조성과 연속성 성질을 활용하여 증명하는 것.
• 단조 함수는 최대 가чёт수의 불연속점만 가질 수 있음을 이용하여, 다수의 해를 가진 $ c $ 값의 집합이 최대 가чёт수임을 보이는 것.
• 이전 연구에서의 비교 정리 및 수렴 결과를 활용하여 $ \underline{m}(t,c) $ 와 $ \overline{m}(t,c) $ 의 연속성과 단조성을 정당화하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 생성자 $ g $ 가 선형 증가 조건을 만족할 때, 한 개 또는 두 개의 장벽을 가진 반사 BSDE가 유일한 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 생성자에 상수 $ c $ 를 더한 변형에 대해 반사 BSDE의 해는 어떻게 행동하는가? 그리고 해 경로의 연속성은 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ3 $ g + c $ 를 생성자로 가지는 반사 BSDE가 다수의 해를 가질 수 있는 $ c \in \mathbb{R} $ 의 집합은 어떤 구조를 가지는가?
• RQ4 기대 최소 또는 최대 해의 연속성에 의해 반사 BSDE의 해의 유일성이 특성화될 수 있는가?
• RQ5 $ g $ 의 근사 함수 $ \underline{g}_n $ 과 $ \overline{g}_n $ 는 원래 RBSDE의 존재성 및 유일성 결과를 증명하는 데 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 생성자 $ g $ 가 선형 증가 조건을 만족할 경우, 근사 및 수렴 논증을 통해 장벽이 한 개 또는 두 개인 반사 BSDE의 해가 존재함을 증명하였다.
• $ g + c $ 에 대해 해가 유일한 것은 $ t \in [0,T] $ 에 대해 최소 해의 기대값 $ \underline{m}(t,c) $ 가 $ c $ 에서 연속일 때에만 성립한다.
• $ \underline{m}(t,c) $ 와 $ \overline{m}(t,c) $ 는 $ c $ 에 대해 단조적이며, 이들의 연속성은 해의 유일성을 특성화한다.
• 생성자 $ g + c $ 를 가진 반사 BSDE가 두 개 이상의 해를 가질 수 있는 $ c \in \mathbb{R} $ 의 집합은 최대 가чёт수이다.
• 변형된 RBSDE의 최소 및 최대 해 $ \underline{y}_t^c $, $ \overline{y}_t^c $ 는 $ \underline{y}_t^c \geq y_t $ 를 만족하여 비교 원리가 성립함을 보장한다.
• $ \underline{m}(t,c) $ 와 $ \overline{m}(t,c) $ 가 $ c $ 에서 연속임은 반사 BSDE의 해가 $ g + c $ 에 대해 유일한 데 있어 필요하고 충분한 조건이다.