[논문 리뷰] Construction of dendriform trialgebras

Jean-Christophe Novelli, Jean‐Yves Thibon|arXiv (Cornell University)|2005. 10. 11.

Advanced Topics in Algebra인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 무한 개의 변수를 가진 비가환 다항식 대수의 부분삼중대수로서 하나의 생성자를 가진 자유 덴드라이포름 삼중대수를 구성한다. 이 대수는 압축된 단어와 평면 트리의 형태로 실현되며, 결과적으로 자유이자 자기쌍대이며 비드엔드라이포름 쌍대대수이며, sylvester 합동에 대한 NCQSym의 몫과 동형임을 증명한다.

ABSTRACT

We realize the free dendriform trialgebra on one generator, as well as several other examples of dendriform trialgebras, as sub-trialgebras of an algebra of noncommutative polynomials in infinitely many variables.

연구 동기 및 목표

• 하나의 생성자를 가진 자유 덴드라이포름 삼중대수의 명시적 대수적 실현을 비가환 다항식을 통해 제공한다.
• 이 실현이 비가환 쿼asi-대칭 함수 대수(NCQSym)의 sylvester 합동에 대한 몫과 동형임을 확립한다.
• 구축된 대수가 자유이자 자기쌍대이며, 비드엔드라이포름 쌍대대수이자 자유 원시 리 대수를 가짐을 증명한다.
• 평면 트리, 압축된 단어, 주차 함수와 같은 조합론적 대상과의 연결을 제시한다.
• 쌍대대수의 동차 성분이 주차 함수의 내적 곱에 관해 솔로몬-티츠 대수와 동형임을 보여준다.

제안 방법

• 무한한 전체 순서가 있는 알파벳 A에 대해 자유 결합 대수 K⟨A⟩⁺의 부분삼중대수로서 자유 덴드라이포름 삼중대수를 실현한다.
• 최대 문자와 그 등장 수를 기반으로 트리의 재귀적 구성으로부터 세 개의 이항 연산 ≺, ∘, ≻을 정의한다.
• 단어를 표준 형태로 압축하기 위해 tass 연산을 도입하고, 같은 압축 형식을 가진 단어들의 합으로 기저 원소 Mu를 정의한다.
• Mu 기저로 생성되는 대수 NCQSym를 구성하며, 이는 MQSym의 호프 부분대수이자 주차 함수의 내적 곱에 관해 안정적이다.
• 포시의 비드엔드라이포름 쌍대대수 이론을 활용하여 NCQSym, T, PQSym, MQSym가 모두 비드엔드라이포름 쌍대대수임을 증명하고, 이로부터 자유성과 자기쌍대성을 유도한다.
• detass(최대 해제) 사상과 함께 자유 덴드라이포름 삼중대수와 NCQSym의 sylvester 합동에 대한 몫 사이의 동형을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하나의 생성자를 가진 자유 덴드라이포름 삼중대수는 비가환 다항식 대수 내에서 어떻게 명시적으로 실현될 수 있는가?
• RQ2 평면 트리, 압축된 단어의 조합론과 자유 덴드라이포름 삼중대수의 구조 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 압축된 단어로 생성된 대수 NCQSym는 비드엔드라이포름 쌍대대수이자 호프 대수로서 자기쌍대인가?
• RQ4 자명한 합동, 예를 들어 sylvester 합동에 관해 자유 덴드라이포름 삼중대수가 NCQSym의 몫으로 실현될 수 있는가?
• RQ5 NCQSym의 쌍대대수의 동차 성분이 주차 함수의 내적 곱에 관해 솔로몬-티츠 대수와 동형인가?

주요 결과

• 하나의 생성자를 가진 자유 덴드라이포름 삼중대수는 sylvester 합동에 대한 NCQSym의 몫과 동형이며, 이는 비가환 다항식 내에서 구체적인 실현을 제공한다.
• K⟨A⟩⁺의 모든 변수의 합으로 생성되는 부분삼중대수 T는 덴드라이포름 삼중대수로서 자유이며, 평면 트리로 인덱싱된 기저를 가지며, 이는 작은 슈뢰더 수로 세어진다.
• Mu 기저로 생성되는 대수 NCQSym는 비드엔드라이포름 쌍대대수이자 자기쌍대이며, detass 사상에 의해 PQSym에 임베딩된 쌍대대수가 된다.
• 동차 성분 NCQSymₙ*는 주차 함수의 내적 곱에 관해 솔로몬-티츠 대수와 동형이다.
• 대수 MQSym 역시 비드엔드라이포름 쌍대대수이자 덴드라이포름 삼중대수이므로, 그 자기쌍대성과 자유성을 설명한다.
• 평면 트리 T에 대응하는 기저 원소 MT는 T = T(u)를 만족하는 모든 압축된 단어 u에 대한 Mu의 합과 같으며, 이는 트리와 단어 사이의 조합론적 연결을 확립한다.