[论文解读] Construction of warped time-frequency representations on nonuniform frequency scales, Part II: Integral transforms, function spaces, atomic decompositions and Banach frames

Nicki Holighaus, Christoph Wiesmeyr+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2015

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 58被引用 4

一句话总结

本文提出了一类使用通过调制、平移和非线性压缩（warping）从原型函数导出的压缩时间-频率原子的连续线性时频变换族。它建立了可逆性、连续性以及广义共协变空间结构，并在较温和的条件下证明了子采样系统下的原子分解和巴拿赫框架，将经典的短时傅里叶变换和小波变换作为特例恢复出来。

ABSTRACT

We present a novel family of continuous linear time-frequency transforms adapted to a multitude of (nonlinear) frequency scales. Similar to classical time-frequency or time-scale representations, the representation coefficients are obtained as inner products with the elements of a continuously indexed family of time-frequency atoms. These atoms are obtained from a single prototype function, by means of modulation, translation and warping. By warping we refer to the process of nonlinear evaluation according to a bijective, increasing function, the warping function. Besides showing that the resulting integral transforms fulfill certain basic, but essential properties, such as continuity and invertibility, we will show that a large subclass of warping functions gives rise to families of generalized coorbit spaces, i.e. Banach spaces of functions whose representations possess a certain localization. Furthermore, we obtain sufficient conditions for subsampled warped time-frequency systems to form atomic decompositions and Banach frames. To this end, we extend results previously presented by Fornasier and Rauhut to a larger class of function systems via a simple, but crucial modification. The proposed method allows for great flexibility, but by choosing particular warping functions we also recover classical time-frequency representations, e.g. $F(t) = ct$ provides the short-time Fourier transform and $F(t)=\log_a(t)$ provides wavelet transforms. This is illustrated by a number of examples provided in the manuscript.

研究动机与目标

• 开发一个适应非线性频率尺度的灵活连续时频变换族。
• 建立所提出的积分变换可逆性和连续性的理论基础。
• 表征与变换相关的函数空间（广义共协变空间）。
• 推导子采样压缩系统形成原子分解和巴拿赫框架的充分条件。
• 通过适当的压缩函数，将经典时频表示统一于单一框架之下。

提出的方法

• 通过调制、平移和压缩（使用双射且递增的函数）作用于单一原型函数，构建时间-频率原子。
• 将信号与这些压缩原子的内积定义为积分变换，得到表示系数。
• 采用Fornasier和Rauhut框架的改进版本，将原子分解和巴拿赫框架结果推广至压缩系统。
• 使用泛函分析工具，分析变换的连续性和可逆性。
• 在压缩函数满足较温和条件时，将相关函数空间表征为广义共协变空间。
• 证明特定压缩函数可恢复已知变换：线性压缩得到短时傅里叶变换，对数压缩得到小波变换。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过压缩变换将时频表示推广至非均匀、非线性的频率尺度？
• RQ2 在何种条件下，压缩时间-频率系统能形成原子分解和巴拿赫框架？
• RQ3 与所提出的压缩积分变换自然关联的函数空间是什么？
• RQ4 所提出的变换与经典的时频表示（如短时傅里叶变换和小波变换）有何关系？
• RQ5 压缩变换满足哪些结构性质（如连续性和可逆性）？

主要发现

• 所提出的压缩时间-频率变换对于一大类压缩函数是连续且可逆的。
• 压缩函数的一个较大子类可产生广义共协变空间，表征具有局部化表示的函数。
• 建立了子采样压缩系统形成原子分解和巴拿赫框架的充分条件，将先前结果扩展至更广泛的系统类别。
• 当压缩函数为线性时（F(t) = ct），该框架可恢复短时傅里叶变换。
• 当压缩函数为对数形式时（F(t) = log_a(t)），该框架可恢复连续小波变换。
• 该方法提供了一个统一的理论框架，通过非线性频率缩放推广了经典时频表示。