[논문 리뷰] Constructive discrepancy minimization for convex sets

Thomas Rothvoß|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 01.

Mathematical Approximation and Integration참고 문헌 15인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 대칭 볼록집합 $ K \subseteq \mathbb{R}^n $ 에서 가우스 측도가 적어도 $ e^{-n/500} $ 이상인 점을 구성적으로 찾는 단순한 랜덤화 다항시간 알고리즘을 제시한다. 이 점은 적어도 $ n/9000 $ 개의 좌표를 $ \{\pm 1\} $ 에 포함한다. 방법은 랜덤 가우스 벡터를 $ K \cap [-1,1]^n $ 에 투영하는 것으로, 스펜서의 정리에 대한 첫 번째 구성적 증명과 일반 다면체 이외의 볼록집합에도 적용 가능한 글루스킨과 지아노파울로스의 결과에 대한 새로운 구성적 접근법을 제공한다.

ABSTRACT

A classical theorem of Spencer shows that any set system with n sets and n elements admits a coloring of discrepancy O(n^1/2). Recent exciting work of Bansal, Lovett and Meka shows that such colorings can be found in polynomial time. In fact, the Lovett-Meka algorithm finds a half integral point in any "large enough" polytope. However, their algorithm crucially relies on the facet structure and does not apply to general convex sets. We show that for any symmetric convex set K with measure at least exp(-n/500), the following algorithm finds a point y in K \cap [-1,1]^n with Omega(n) coordinates in {-1,+1}: (1) take a random Gaussian vector x; (2) compute the point y in K \cap [-1,1]^n that is closest to x. (3) return y. This provides another truly constructive proof of Spencer's theorem and the first constructive proof of a Theorem of Gluskin and Giannopoulos.

연구 동기 및 목표

• 스펜서의 불일치 정리에 대한 구성적 증명을 제공함으로써, 이전에는 비구성적 난쟁이 원리에 의존한 바 있다.
• 로바트-메카 알고리즘과 같이 면의 구조에 의존하는 이전 알고리즘의 한계를 극복하여, 다면체 이외의 일반 대칭 볼록집합으로까지 구성적 불일치 최소화를 확장함.
• 글루스킨과 지아노파울로스가 제시한, 대칭 볼록체에서 큰 가우스 측도를 가진 부분 색칠에 대한 정리에 대한 첫 번째 구성적 증명을 제공함.
• K에 대한 분리 오рак루스만으로도 작동하는 방법을 개발함으로써, 넓은 범위의 볼록집합에 적용 가능하도록 함.

제안 방법

• 랜덤 가우스 벡터 $ x^* \sim \mathcal{N}(0, I_n) $ 를 샘플링한다.
• 점 $ y^* = \arg\min_{y \in K \cap [-1,1]^n} \|x^* - y\|_2 $ 를 계산한다. 즉, $ K $ 와 초입방체의 교차부분에서 $ x^* $ 와 가장 가까운 점이다.
• 높은 확률로 $ \{\pm 1\} $ 에서 적어도 $ \Omega(n) $ 개의 좌표를 가지는 $ y^* $ 를 반환한다.
• 가우스 측도 추정과 측도 집중을 이용하여, $ y^* $ 가 많은 $ \pm 1 $ 항목을 가지는 확률를 근사한다.
• K의 대칭성과 볼록성을 활용하여, 투영이 불일치 제어에 필요한 구조를 유지함을 보장한다.
• 하나의 부분공간 투영을 통한 차원 감소 논증을 적용하여, 충분한 측도를 가진 일반 볼록체로 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 대칭 볼록집합(다면체에 국한되지 않고)에 대해 구성적 알고리즘을 설계할 수 있는가?
• RQ2 스펜서와 글루스킨의 정리에서 사용된 비구성적 난쟁이 원리의 추론을, 랜덤화 다항시간 알고리즘으로 대체할 수 있는가?
• RQ3 K가 큰 가우스 측도를 가질 경우, 랜덤 가우스 벡터를 $ K \cap [-1,1]^n $ 에 투영하면 많은 $ \pm 1 $ 좌표를 가지는 점이 얻어지는가?
• RQ4 로바트-메카 알고리즘의 프레임워크를 기하확률을 활용하여 다각형 집합을 초월해 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• K가 대칭이면서 가우스 측도가 적어도 $ e^{-n/500} $ 이상이라면, 알고리즘은 $ K \cap [-1,1]^n $ 에서 적어도 $ n/9000 $ 개의 좌표가 $ \{\pm 1\} $ 에 속하는 점 $ y $ 를 반환한다.
• 이 방법은 구성적이며 다항시간에 수행되며, K에 대한 전체 면 정보가 아니라 분리 오라클만 필요하다.
• 이 접근법은 이전에 비구성적 난쟁이 원리에 의존했던 스펜서 정리에 대한 첫 번째 구성적 증명을 제공한다.
• 이 방법은 벡터 균형 조정으로까지 확장 가능하다: $ \|v_i\|_2 \leq 1/40 $ 인 벡터 $ v_i \in \mathbb{R}^n $ 에 대해, $ \sum y_i v_i \in K $ 를 만족시키며 $ \Omega(m) $ 개의 항목이 $ \{\pm 1\} $ 에 속하는 부분 색칠을 찾을 수 있다.
• K가 스케일링되거나 부분공간으로 투영되어도, 가우스 측도 조건이 유지된다면 결과는 그대로 성립한다.
• 분석은 가우스 측도 집중과 회전 대칭성을 활용하여, 투영에서 많은 $ \pm 1 $ 좌표를 얻는 확률를 근사한다.