[논문 리뷰] Continuous formulation of the Loop Quantum Gravity phase space

Laurent Freidel, Marc Geiller외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 10. 21.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories참고 문헌 30인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 루프 양자 중력의 이산 홀로노미-플럭스 위상공간과 평탄도 조건 하에서 연속 일반 상대성 이론 위상공간의 심플렉틱 축소 사이의 정확한 이somorphism를 수립한다. 유도변수들이 게이지-equivalent 기하학의 동치류를 표시함을 보여, LQG의 특이 기하학과 스핀 폼 모델의 조각별 평탄 기하학을 조화시키며, 둘 다 서로 다른 게이지 선택에 따라 동일한 고전적 자료에서 유래함을 명확히 한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the discrete classical phase space of loop gravity, which is expressed in terms of the holonomy-flux variables, and show how it is related to the continuous phase space of general relativity. In particular, we prove an isomorphism between the loop gravity discrete phase space and the symplectic reduction of the continuous phase space with respect to a flatness constraint. This gives for the first time a precise relationship between the continuum and holonomy-flux variables. Our construction shows that the fluxes depend on the three-geometry, but also explicitly on the connection, explaining their non commutativity. It also clearly shows that the flux variables do not label a unique geometry, but rather a class of gauge-equivalent geometries. This allows us to resolve the tension between the loop gravity geometrical interpretation in terms of singular geometry, and the spin foam interpretation in terms of piecewise flat geometry, since we establish that both geometries belong to the same equivalence class. This finally gives us a clear understanding of the relationship between the piecewise flat spin foam geometries and Regge geometries, which are only piecewise-linear flat: While Regge geometry corresponds to metrics whose curvature is concentrated around straight edges, the loop gravity geometry correspond to metrics whose curvature is concentrated around not necessarily straight edges.

연구 동기 및 목표

• 루프 양자 중력의 이산 홀로노미-플럭스 변수와 일반 상대성 이론의 연속 위상공간 사이의 고전적 관계를 명확히 하는 것.
• LQG에서의 특이 기하학적 해석과 스핀 폼 모델에서의 조각별 평탄 기하학 사이의 갈등을 해결하는 것.
• 유도변수가 유일한 기하학을 표시하는 것이 아니라 게이지 변환 하에 동치인 기하학의 동치류를 표시한다는 것을 보여주는 것.
• 이산화와 양자화를 분리함으로써 루프 중력의 고전적 기초를 마련하는 것.
• 그래프 위의 유한차원 홀로노미-플럭스 위상공간을 통해 일반 상대성 이론의 전체 역학을 기술하는 데 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 그래프 Γ의 변들에 관련된 홀로노미-플럭스 변수 (h_e, X_e)로부터 유한차원 위상공간을 구성하여 SU(2) 코탄제이ント 번들의 곱을 형성한다.
• 루프 중력의 이산 위상공간을 이중 그래프 Γ*의 보완부분에서 평탄도 조건을 갖는 연속 중력 위상공간의 심플렉틱 축소로 식별한다.
• 게이지 고정 절차를 사용하여 서로 다른 기하학적 해석(예: LQG의 특이 게이지, 스핀 폼의 평탄 게이지)을 동일한 연속 기하학의 동치류와 연결한다.
• LQG의 면적 연산자가 특정 게이지(특이 게이지)에서 연속 면적 함수의 양자화로 나타남을 보이며, 이 함수의 플럭스에 대한 의존성이 게이지 불변임을 입증한다.
• 게이지 선택에 따라 다를 수 있는 함수들은 홀로노미 대수의 중심에 속함을 보이며, 물리적 동치성을 유지한다.
• Regge 기하학과 스핀 폼 모델의 비틀린 기하학( twisted geometries)은 모두 동일한 동치류의 대표자이며, 변의 기하학(직선 대비 비직선)의 선택에 따라 다를 뿐이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 루프 중력의 이산 홀로노미-플럭스 위상공간은 일반 상대성 이론의 연속 위상공간과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 왜 플럭스 변수들이 기하학을 유일하게 결정하지 못하며, 그 비가환성의 물리적 의미는 무엇인가?
• RQ3 왜 LQG의 특이 기하학과 스핀 폼 모델의 조각별 평탄 기하학을 조화시킬 수 있는가?
• RQ4 게이지 선택은 동일한 플럭스 자료를 어떻게 다른 기하학적 구조로 해석하는가?
• RQ5 모든 그래프를 동시에 고려할 경우 일반 상대성 이론의 전체 고전 역학은 그래프 위의 유한차원 홀로노미-플럭스 위상공간으로 기술될 수 있는가?

주요 결과

• 루프 중력의 이산 홀로노미-플럭스 위상공간은 이중 그래프의 보완부분에서 평탄도 조건 하에 연속 중력 위상공간의 심플렉틱 축소와 동형이다.
• 플럭스 변수들은 게이지-등가 연속 기하학의 동치류를 표시하며, 이는 비가환성과 유일한 기하학적 해석이 없는 이유를 설명한다.
• LQG의 특이 기하학과 스핀 폼 모델의 조각별 평탄 기하학은 동일한 동치류의 서로 다른 대표자이며, 오직 게이지 선택의 차이로만 다를 뿐이다.
• LQG 면적 연산자는 특이 게이지에서 연속 면적 함수의 양자화이며, 그 게이지에서 플럭스 정의(공변 또는 표준)에 관계없이 독립적이다.
• 스핀 폼 모델의 비틀린 기하학은 곡률이 비직선 변들에 집중된 조각별 평탄 기하학을 나타내며, Regge 기하학을 일반화한다.
• 일반 상대성 이론의 고전 역학은 모든 그래프를 동시에 고려할 경우 홀로노미-플럭스 위상공간의 집합으로 재기술될 수 있다.