[논문 리뷰] Continuous tensor network renormalization for quantum fields

Qi Hu, Adrián Franco-Rubio외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 31.

Quantum many-body systems참고 문헌 30인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 연속 텐서 네트워크 재규격화(cTNR)를 소개하며, 이는 양자장론의 연속체에서 정확한 시공간 대칭성을 유지하면서 재규격화군 흐름을 수행하는 방법이다. $1/\Lambda$의 단거리 척도에서 장을 퍼뜨림으로써, cTNR는 복합적인 확대 및 분리 연산자를 통한 무한소 조밀화를 적용하여 정확한 RG 흐름을 생성하고, 자유 보존 이론의 임계 고정점에서 conformal 데이터를 추출하는 데 성공한다.

ABSTRACT

On the lattice, a renormalization group (RG) flow for two-dimensional partition functions expressed as a tensor network can be obtained using the tensor network renormalization (TNR) algorithm [G. Evenbly, G. Vidal, Phys. Rev. Lett. 115 (18), 180405 (2015)]. In this work we explain how to extend TNR to field theories in the continuum. First, a short-distance length scale $1/Λ$ is introduced in the continuum partition function by smearing the fields. The resulting object is still defined in the continuum but has no fluctuations at distances shorter than $1/Λ$. An infinitesimal coarse-graining step is then generated by the combined action of a $rescaling$ operator $L$ and a $disentangling$ operator $K$ that implements a quasi-local field redefinition. As demonstrated for a free boson in two dimensions, continuous TNR exactly preserves translation and rotation symmetries and can generate a proper RG flow. Moreover, from a critical fixed point of this RG flow one can then extract the conformal data of the underlying conformal field theory.

연구 동기 및 목표

• 텐서 네트워크 재규격화(TNR)를 격자 시스템에서 연속체의 양자장론으로 확장하여 정확한 이동 및 회전 대칭성을 유지하는 것.
• 장의 퍼짐을 통한 단거리 절단 $1/\Lambda$를 이용한 양자장론의 연속적 조밀화 프레임워크를 개발하는 것.
• 확대 연산자 $L$과 분리 연산자 $K$의 병합 작용을 통해 무한소 RG 변환을 구성하여 적절한 흐름 구조를 보장하는 것.
• cTNR가 자유 보존 CFT의 임계 고정점을 생성하고, 스케일링 차원과 중심 전하를 포함한 conformal 데이터를 추출할 수 있음을 보여주는 것.
• 퍼짐 이론의 준국소 연산자와 기저 CFT의 국소 주요 연산자 간의 관계를 설정하는 것.

제안 방법

• 장의 퍼짐 함수 $\mu(|\bm{x}-\bm{y}|)$를 사용하여 단거리 절단 $1/\Lambda$를 도입함으로써, 고에너지 조각을 제거하면서도 연속체의 구조를 유지하는 것.
• 연속체에서 확대 연산자 $L$ (공간 확대)와 분리 연산자 $K$ (준국소 장 재정의 구현)의 병합 작용을 통해 무한소 조밀화 단계를 정의하는 것.
• $L$과 $K$ 연산자를 사용하여 텐서 네트워크 공간에서 연속적인 RG 흐름을 생성하며, $L$은 척도 변환의 생성자로 작용하고 $K$는 단거리 얽힘을 제거하는 데 기여하는 것.
• 지정된 CFT 주요 연산자 $\mathcal{O}_{\alpha}(\bm{x})$의 퍼짐 버전인 준국소 스케일링 연산자 $\mathcal{O}_{\alpha}^{\Lambda}(\bm{x})$를 구성하여 스케일링 차원 $\Delta_{\alpha}$와 conformal 스핀 $s_{\alpha}$를 유지하는 것.
• 퍼짐 이론에서 연산자 곱 전개(OPE)와 Ward 항등식이 유지되어, 준국소 스트레스 텐서 $T^{\Lambda}(z)$가 중심 전하 $c=1$을 가진 conformal 변환을 생성하는 것을 보장하는 것.
• 2차원 자유 보존 CFT에 이 방법을 적용하여 conformal 대칭성이 정확히 유지되고 임계 고정점에서 conformal 데이터가 성공적으로 추출됨을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 텐서 네트워크 재규격화는 연속체에서 양자장론으로 확장될 수 있으며, 정확한 시공간 대칭성을 유지할 수 있는가?
• RQ2 격자 이산화 없이도 적절한 RG 흐름을 생성할 수 있는 연속적 조밀화 절차는 어떻게 정의될 수 있는가?
• RQ3 스케일 $1/\Lambda$에서의 장 퍼짐은 TNR 알고리즘의 잘 정의된 연속체 극한을 가능하게 하는가?
• RQ4 임계 고정점의 연속적 RG 흐름으로부터 스케일링 차원과 중심 전하와 같은 conformal 데이터는 어떻게 추출되는가?
• RQ5 퍼짐 이론의 준국소 연산자는 기저 CFT의 국소 연산자의 대수적 구조를 어느 정도 상속하는가?

주요 결과

• 연속 TNR(cTNR) 알고리즘은 2차원 자유 보존 장 이론에 대해 정확한 이동 및 회전 대칭성을 유지하면서 적절한 RG 흐름을 성공적으로 생성한다.
• cTNR 흐름의 임계 고정점은 기저 conformal field theory의 conformal 데이터를 정확히 재현하며, 주요 연산자의 스케일링 차원 $\Delta_{\alpha}$와 conformal 스핀 $s_{\alpha}$를 포함한다.
• 퍼짐 이론의 준국소 스트레스 텐서 $T^{\Lambda}(z)$는 원래 CFT와 동일한 중심 전하 $c=1$을 가지며, OPE $T^{\Lambda}(z)T^{\Lambda}(w) \sim \frac{1/2}{(z-w)^4} + \frac{2T^{\Lambda}(w)}{(z-w)^2} + \frac{\partial T^{\Lambda}(w)}{z-w}$를 통해 확인된다.
• 퍼짐 연산자 $\mathcal{O}_{\alpha}^{\Lambda}(\bm{x}) = \int d\bm{y} \, \mu(|\bm{x}-\bm{y}|) \mathcal{O}_{\alpha}(\bm{y})$는 $L+K_\star$와 $R$의 고유함수이며, CFT에서의 국소 대응항과 동일한 스케일링 차원 $\Delta_{\alpha}$와 conformal 스핀 $s_{\alpha}$를 유지한다.
• $T^{\Lambda}(z)$와 $\partial\phi^{\Lambda}(w)$의 OPE는 표준 CFT OPE와 일치한다: $T^{\Lambda}(z)\partial\phi^{\Lambda}(w) \sim \frac{\partial\phi^{\Lambda}(w)}{(z-w)^2} + \frac{\partial^2\phi^{\Lambda}(w)}{z-w}$, 이는 대수적 일관성을 확인한다.
• 이 방법은 격자 TNR에 대한 연속체 해석을 제공하며, 이산화로 인한 시공간 대칭성의 파괴 없이도 양자장론을 직접 연구할 수 있게 한다.