[논문 리뷰] Contractivity, complete contractivity and curvature inequalities

Misra, Gadadhar, Pal, Avijit|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 28.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 25인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유계 도메인 $\Omega \subset \mathbb{C}^m$ 에서 Cowen-Douglas 클래스 $\mathrm{B}_1(\Omega)$ 의 국소화 연산자에 의해 유도되는 준동형사상의 수축성과 완전 수축성을 조사한다. 이러한 성질들이 관련된 허수 벡터(bundle)의 곡률 부등식과 동치임을 규명하였으며, 대칭 도메인에서의 Bergman 커널로부터 유도된 명시적 예제를 제시한다. 주요 기여는 곡률 행렬과 행렬 계수 다항식을 통한 $\lambda$-의존성에 대한 정밀한 특성화이다.

ABSTRACT

For any bounded domain $Ω$ in $\mathbb C^m,$ let ${\mathrm B}_1(Ω)$ denote the Cowen-Douglas class of commuting $m$-tuples of bounded linear operators. For an $m$-tuple $\boldsymbol T$ in the Cowen-Douglas class ${\mathrm B}_1(Ω),$ let $N_{\boldsymbol T}(w)$ denote the restriction of $\boldsymbol T$ to the subspace ${\cap_{i,j=1}^m\ker(T_i-w_iI)(T_j-w_jI)}.$ This commuting $m$-tuple $N_{\boldsymbol T}(w)$ of $m+1$ dimensional operators induces a homomorphism $ρ_{_{\!N_{\boldsymbol T}(w)}}$ of the polynomial ring $P[z_1, ..., z_m],$ namely, $ρ_{_{\!N_{\boldsymbol T}(w)}}(p) = p\big (N_{\boldsymbol T}(w) \big),\, p\in P[z_1, ..., z_m].$ We study the contractivity and complete contractivity of the homomorphism $ρ_{_{\!N_{\boldsymbol T}(w)}}.$ Starting from the homomorphism $ρ_{_{\!N_{\boldsymbol T}(w)}},$ we construct a natural class of homomorphism $ρ_{_{\!N^{(λ)}(w)}}, λ>0,$ and relate the properties of $ρ_{_{\!N^{(λ)}(w)}}$ to that of $ρ_{_{\!N_{\boldsymbol T}(w)}}.$ Explicit examples arising from the multiplication operators on the Bergman space of $Ω$ are investigated in detail. Finally, it is shown that contractive properties of $ρ_{_{\!N_{\boldsymbol T}(w)}}$ is equivalent to an inequality for the curvature of the Cowen-Douglas bundle $E_{\boldsymbol T}$.

연구 동기 및 목표

• 국소화 연산자 $N_{\boldsymbol{T}}(w)$ 와 관련된 준동형사상 $\mathrm{B}_1(\Omega)$ 에서의 수축성과 완전 수축성을 특성화하는 것.
• 이러한 연산자 이론적 성질들이 허수 벡터(bundle) $E_{\boldsymbol{T}}$ 의 곡률 부등식과 어떻게 연관되는지 밝혀내는 것.
• Bergman 커널의 거듭제곱에서 유도되는 $\lambda > 0$ 에 따라 매개변수화된 준동형사상 $\rho_{\boldsymbol{N}^{(\lambda)}(w)}$ 의 구성 및 분석.
• 준동형사상 $\rho_{\boldsymbol{N}^{(\lambda)}(w)}$ 가 수축성 또는 완전 수축성이 되는 데 필요한 $\lambda$ 의 날카운 임계값을 곡률 계산을 통해 결정하는 것.

제안 방법

• 국소화 연산자 $N_{\boldsymbol{T}}(w)$ 는 $\boldsymbol{T}$ 를 공통 핵 부분공간 $\mathcal{N}(w) = \bigcap_{i,j=1}^m \ker(T_i - w_i I)(T_j - w_j I)$ 에 제한하여 정의한다.
• Bergman 커널의 $\lambda$ 제곱에서 유도된 준동형사상 $\rho_{\boldsymbol{N}^{(\lambda)}(w)}$ 를 구성하여 다항식 환 $P[z_1, \dots, z_m]$ 에 대한 표현을 유도한다.
• 곡률 행렬 $\mathcal{K}_{\boldsymbol{T}}(w)$ 는 $\log \|\gamma(w)\|^2$ 의 음의 헤시안으로 표현되며, 여기서 $\gamma(w)$ 는 벡터 번들의 허수 섹션이다.
• 집합 $\{\gamma(w), \partial_1\gamma(w), \dots, \partial_m\gamma(w)\}$ 의 그람-슈미트 정규직교화를 통해 $N_{\boldsymbol{T}}(w)$ 를 상삼각행렬 형태로 표현하고, 항목으로서 $\boldsymbol{\alpha}_i(w)$ 를 얻는다.
• 행렬 $\big(\langle \boldsymbol{\alpha}_i(w), \boldsymbol{\alpha}_j(w) \rangle \big)_{i,j}$ 를 곡률 행렬의 역행렬 $-\mathcal{K}_{\boldsymbol{T}}(w)^{-1}$ 과 연결한다.
• von Neumann 부등식과 연산자 노름 조건을 적용하여, $\lambda$ 에 대한 수축성과 완전 수축성의 필요충분 조건을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건을 만족할 경우 준동형사상 $\rho_{\boldsymbol{N}^{(\lambda)}(w)}$ 가 수축성이 되는가?
• RQ2 언제 $\rho_{\boldsymbol{N}^{(\lambda)}(w)}$ 가 완전 수축성이 되며, 이는 Cowen-Douglas 벡터 번들의 곡률과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 곡률 행렬 $\mathcal{K}_{\boldsymbol{T}}(w)$ 와 국소화된 연산자의 내적 구조가 수축성에 어떻게 영향을 주는가?
• RQ4 $\rho_{\boldsymbol{N}^{(\lambda)}(w)}$ 의 수축성은 순수하게 Bergman 커널의 $\lambda$-거듭제곱에 의해 특성화될 수 있는가?
• RQ5 준동형사상 $\rho_{\boldsymbol{N}^{(\lambda)}(w)}$ 의 수축성과 $w$ 에서 평가된 행렬 계수 다항식의 연산자 노름 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 준동형사상 $\rho_{\boldsymbol{N}^{(\lambda)}(0)}$ 가 수축성이 되는 것은 곡률 행렬 원소의 노름 부등식을 통해 유도된 바, $\lambda \geq \frac{1}{4}$ 와 동치이다.
• 준동형사상 $\rho_{\boldsymbol{N}^{(\lambda)}(0)}$ 가 완전 수축성이 되는 것은 $\lambda \geq \frac{11}{20}$ 과 동치이며, 이는 행렬 계수 다항식 $P_{\mathbf{A}}(z) = z_1 A_1 + z_2 A_2$ 에서 $A_1 = I_2$, $A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 일 때의 연산자 노름 조건에 기반한다.
• 도메인 $\Omega = \{(z_1,z_2,z_3) : |z_2|^2 \leq (1-|z_1|^2)(1-|z_3|^2), 1-|z_3|^2 \geq 0\}$ 에서 원점에서의 곡률 행렬은 대각성분이 $T_{11}(0) = 3\lambda$, $T_{22}(0) = \frac{9\lambda}{2}$, $T_{33}(0) = 3\lambda$ 이고 비대각성분은 모두 0이다.
• 수축성 조건 $\|A(0)^t\|_{\ell^2 \to C_{\Omega,0}}^2 \leq 1$ 는 부등식 $|a_{11}^\lambda(0)|^2(1 - |a_{33}^\lambda(0)|^2) \geq |a_{22}^\lambda(0)|^2 - |a_{33}^\lambda(0)|^2 $ 을 유도하며, 이로부터 $\lambda \geq \frac{1}{4}$ 를 산출한다.
• 세 변수 다항식 $P_{\mathbf{A}}(z) = z_1 A_1 + z_2 A_2 + z_3 A_3$ 에서 $A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $A_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 일 때, 준동형사상 $\rho_{\boldsymbol{N}^{(\lambda)}(0)}$ 는 $\lambda \geq \frac{5}{9}$ 일 때에만 완전 수축성이 된다.