[논문 리뷰] Control Synthesis for Nonlinear Optimal Control via Convex Relaxations

Pengcheng Zhao, Shankar Mohan외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 03.

Advanced Control Systems Optimization참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 상태 및 입력 제약 조건이 있는 비선형 최적 제어 문제에 대해 최적 제어기를 합리적으로 설계하는 데 기반한 볼록 근사 기법을 제안한다. 문제를 측도 위에서의 무한차원 선형프로그램으로 재구성하고, 다항 동역학 및 비용 함수에 대해 모멘트 행렬과 국소화 행렬을 사용하여 유한차원의 정수형 프로그래밍(SDP) 계층을 구성함으로써, 이는 무한차원 LP를 풀이하는 데 사용된다. 이 방법은 최적 제어가 비연속일 경우에도 진짜 최적 제어로 수렴하는 다항 제어 법칙을 추출하며, 최적 비용에 대해 증명 가능하게 수렴하는 하한을 제공한다.

ABSTRACT

This paper addresses the problem of control synthesis for nonlinear optimal control problems in the presence of state and input constraints. The presented approach relies upon transforming the given problem into an infinite-dimensional linear program over the space of measures. To generate approximations to this infinite-dimensional program, a sequence of Semi-Definite Programs (SDP)s is formulated in the instance of polynomial cost and dynamics with semi-algebraic state and bounded input constraints. A method to extract a polynomial control function from each SDP is also given. This paper proves that the controller synthesized from each of these SDPs generates a sequence of values that converge from below to the value of the optimal control of the original optimal control problem. In contrast to existing approaches, the presented method does not assume that the optimal control is continuous while still proving that the sequence of approximations is optimal. Moreover, the sequence of controllers that are synthesized using the presented approach are proven to converge to the true optimal control. The performance of the presented method is demonstrated on three examples.

연구 동기 및 목표

• 상태 및 입력 제약 조건이 있는 비선형 최적 제어 문제에서 제어 합성의 과제를 해결하기 위해.
• 최적 제어의 연속성 가정 없이 진짜 최적 제어로 수렴하는 볼록 최적화 프레임워크를 개발하기 위해.
• SDP 근사로부터 다항 제어 법칙을 생성할 수 있는 수치적으로 실현 가능한 방법을 제공하기 위해.
• SDP 근사로부터 유도된 제어기의 수열이 진짜 최적 제어기로 수렴한다는 것을 증명하기 위해.
• 이중 적분기 및 더빙스 카와 같은 벤치마크 비선형 시스템에 대한 방법의 유효성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 최적 제어 문제를 비음성 측도 공간 위에서의 무한차원 선형프로그램(LP)으로 재구성하며, 특히 직업 측도를 사용한다.
• 다항 동역학 및 비용 함수를 고려하여 모멘트 행렬과 국소화 행렬을 사용함으로써, 무한차원 LP를 유한차원 정수형 프로그래밍(SDP) 계층으로 근사한다.
• 이 방법은 라세르의 모멘트-SOS 계층을 활용하여 무한차원 LP를 근사함으로써, 표준 SDP 솔버를 통해 수치적으로 해를 구할 수 있도록 한다.
• 각 SDP 근사의 해로부터 다항 피드백 제어 법칙을 회복하기 위한 제어 추출 절차를 개발한다.
• 최적 제어의 약한 설정과 측도 및 시험 함수 간의 이중성 관계를 활용하여 최적성 성질을 유지한다.
• 최적 제어가 비연속일 경우에도 미약한 가정 하에 제어기 수열이 진짜 최적 제어기로 수렴한다는 것을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상태 및 입력 제약 조건이 있는 비선형 시스템에 대해 볼록 근사 접근법을 사용하여 최적 제어기를 합리적으로 설계할 수 있는가?
• RQ2 제안된 방법이 최적 제어가 비연속일 경우에도 합성된 제어기가 진짜 최적 제어로 수렴함을 보장하는가?
• RQ3 무한차원 LP 설정의 SDP 근사로부터 다항 제어 법칙을 효과적으로 추출할 수 있는가?
• RQ4 SDP 근사는 최적 비용에 대한 하한과 동시에 최적 제어의 수렴 근사값을 어떻게 제공하는가?
• RQ5 이 방법은 비다항 동역학을 가진 시스템, 예를 들어 더빙스 카와 같이 局소 근사화를 통해 적용 가능한가?

주요 결과

• 최적 제어가 비연속일 경우에도 SDP 근사로부터 유도된 제어기 수열이 진짜 최적 제어기로 수렴함을 보여주며, 이는 최적 제어의 연속성 가정이 필요한 기존 방법에 비해 중대한 개선이다.
• 최적 비용에 대한 하한 수열이 진짜 최적 값으로 단조롭게 수렴함을 보여준다.
• 자유 종료 시간이 있는 이중 적분기 시스템에서, 근사 정도가 증가함에 따라(2k = 6, 8, 12) 제어 행동과 궤적의 결과가 해석적으로 계산된 최적 해와 매우 유사해진다.
• 이중 적분기의 LQR 형태에서, 2k = 6, 8, 12일 때의 결과가 표준 LQR 해로 수렴함을 보여주며, 이는 제곱형 비용 함수에 대한 정확성을 입증한다.
• 비다항 동역학을 가진 더빙스 카 모델은 동역학의 2차 테일러 근사화를 사용하여 효과적으로 처리되었으며, 타당하고 수렴하는 제어 법칙을 도출하였다.
• 제어 추출 방법은 SDP 해로부터 다항 피드백 법칙을 성공적으로 생성하여 합성된 제어기의 실용적 구현을 가능하게 하였다.