[论文解读] Convex analysis in normed spaces and metric projections onto convex bodies

Vitor Balestro, Horst Martini+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2019

Optimization and Variational Analysis参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文证明，在有限维赋范空间中，当范数光滑且严格凸时，凸体外的到该凸体的距离函数是可微的，且其范数梯度等于单位外法向量。通过Legendre变换识别对偶空间，引入范数次梯度，并将其与Birkhoff正交性联系起来，证明可微性成立的充要条件正是范数光滑且严格凸。

ABSTRACT

We investigate metric projections and distance functions referring to convex bodies in finite-dimensional normed spaces. For this purpose we identify the vector space with its dual space by using, instead of the usual identification via the standard inner product, the Legendre transform associated with the given norm. This approach yields re-interpretations of various properties of convex functions, and new relations between such functions and geometric properties of the studied norm are also derived.

研究动机与目标

• 确定在有限维赋范空间中，凸体上的度量投影唯一的范数与凸体的条件。
• 研究一般赋范空间中到凸体的距离函数的可微性，特别是当范数光滑且严格凸时的情形。
• 通过Legendre变换引入并研究凸函数的范数梯度与范数次梯度，替代标准内积的对偶识别。
• 以法锥与Birkhoff正交性表征凸体边界上距离函数的次微分。
• 建立在范数光滑且严格凸条件下，距离函数在凸体外部属于$C^1$类。

提出的方法

• 使用范数的Legendre变换来识别对偶空间，替代赋范空间中传统的内积对偶。
• 通过Legendre变换定义凸函数的范数次梯度与范数梯度，从而在范数对偶结构下实现几何解释。
• 应用Birkhoff正交性的概念，将距离函数的范数梯度与凸体的外法向量联系起来。
• 利用方向导数与支撑方向分析距离函数在边界附近及外部的行为。
• 利用恒等式$x = p_K(x) + \mathrm{dist}(x,K) \cdot \eta_K(x)$证明范数梯度在$\mathbb{R}^n \setminus K$中连续。
• 通过Legendre变换的次微分刻画，证明在$\partial K$上$\partial d_K(x) = \mathrm{NC}(K,x)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限维赋范空间中，当范数与凸体满足何种条件时，凸体上的度量投影是唯一的？
• RQ2 当环境范数光滑且严格凸时，凸体外的距离函数是否可微？
• RQ3 Legendre变换如何用于在非欧几何范数中定义并研究凸函数的范数次梯度与梯度？
• RQ4 距离函数的范数次梯度与凸体的法锥之间有何关系？
• RQ5 Birkhoff正交性能否用于刻画光滑且严格凸范数下距离函数的范数梯度？

主要发现

• 距离函数$d_K$在任意点$x \in \mathbb{R}^n \setminus K$可微，当且仅当范数光滑且严格凸。
• 对于任意点$x \in \mathbb{R}^n \setminus K$，$d_K$的范数梯度等于单位外法向量$\eta_K(x)$，即$\nabla d_K(x) = \eta_K(x)$。
• 在边界点$x \in \partial K$处，$d_K$的范数次微分恰好是法锥$\mathrm{NC}(K,x)$，表明$d_K$在$\partial K$上不可微。
• 范数梯度$\nabla d_K$在$\mathbb{R}^n \setminus K$中连续，因此$d_K$在$K$外部属于$C^1$类。
• 距离函数在外法向方向的方向导数满足$(d_K)'_+(x, \eta_K(x)) = 1$，与几何直觉一致。
• 在$x \in \partial K$处，$d_K$的次微分通过Birkhoff正交性刻画：$v \in \partial d_K(x)$当且仅当$v$是单位外法向量，且$v \dashv_B \mathbf{h}$，其中$\mathbf{h}$是$x$处的支撑超平面。