[논문 리뷰] Convex computation of the maximum controlled invariant set for polynomial control systems

Milan Korda, Didier Henrion외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 26.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 다항 제어 시스템에서 최대 제어 가능 불변 집합(MCI)을 계산하기 위한 볼록 최적화 방법을 제안한다. 측도 공간에서의 무한차원 선형계획법(LP)을 활용하며, 직업 측도와 쌍대성의 이론을 통해 유한차원 선형행렬부등식(LMI) 리 릿스팅 계층을 구성한다. 이들의 최적값은 MCI 집합의 부피로 수렴하며, 다항식의 제곱합(SOS) 쌍대 문제를 통해 다항식 초수준 집합을 이용한 수렴하는 외부 근사값을 제공한다.

ABSTRACT

We characterize the maximum controlled invariant (MCI) set for discrete- as well as continuous-time nonlinear dynamical systems as the solution of an infinite-dimensional linear programming problem. For systems with polynomial dynamics and compact semialgebraic state and control constraints, we describe a hierarchy of finite-dimensional linear matrix inequality (LMI) relaxations whose optimal values converge to the volume of the MCI set; dual to these LMI relaxations are sum-of-squares (SOS) problems providing a converging sequence of outer approximations to the MCI set. The approach is simple and readily applicable in the sense that the approximations are the outcome of a single semidefinite program with no additional input apart from the problem description. A number of numerical examples illustrate the approach.

연구 동기 및 목표

• 비선형 다항 제어 시스템에서 최대 제어 가능 불변(MCI) 집합을 계산하기 위한 볼록적이고 수렴 보장되며 일반적인 방법의 부족을 해결하기 위해.
• 이전 방법들이 오직 볼록 다각형 근사값을 제공하거나 사전에 집합의 기하학적 형태를 요구하거나 수렴 보장을 갖지 못하는 한계를 극복하기 위해.
• 다항식 동역학과 컴act 세미대수적 제약 조건을 갖는 이산 및 연속 시간 시스템에 모두 적용 가능한 통합 프레임워크를 제공하기 위해.
• 모멘트 문제(원형)와 제곱합(SOS) 문제(쌍대) 사이의 이중성 관계를 수립하여 MCI 집합의 수렴하는 외부 근사값을 가능하게 하기 위해.
• 추가 조정 없이 시스템 기술서만 입력으로 요구하는, 계산적으로 실현 가능한 방법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 시스템 궤적을 표현하기 위해 직업 측도를 사용하여, 비음수 측도 위에서의 무한차원 선형계획법(LP)으로 MCI 집합 계산 문제를 수립한다.
• 유한한 도달 시간 문제를 다루고 잘 정의된 문제를 보장하기 위해, 상태 공간을 컴act하게 확장한 이완된 마팅갈 문제 수식을 도입한다.
• 측도 공간에서의 원형 LP와 연속 함수 공간에서의 쌍대 LP를 유도하며, 적절한 조건 하에서 강한 이중성을 확립한다.
• 원형 LP의 유한차원 LMI 리 릿스팅 계층을 구성하며, 그 최적값이 MCI 집합의 부피로 수렴함을 보장한다.
• 쌍대 SOS 리 릿스팅을 구성하여 다항식 초수준 집합을 통해 MCI 집합의 외부 근사값을 생성하며, 다항식 차수 증가에 따라 수렴함을 보장한다.
• 쌍대 SOS 다항식의 초수준 집합을 사용하여 MCI 집합의 외부 근사값을 생성하며, 극한에서 수렴함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항 제어 시스템의 최대 제어 가능 불변 집합은 수렴 보장이 있는 볼록 최적화 프레임워크를 통해 계산될 수 있는가?
• RQ2 MCI 집합은 비음수 측도 공간에서의 무한차원 LP 문제의 해로 어떻게 특징지어질 수 있는가?
• RQ3 MCI 집합 근사에서 원형 모멘트 문제와 쌍대 SOS 문제 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 유한차원 LMI 및 SOS 리 릿스팅은 MCI 집합의 부피와 경계에 대해 수렴하는 근사값을 제공할 수 있는가?
• RQ5 직업 측도와 마팅갈 문제 수식은 이산 및 연속 시간 시스템을 통합적으로 다루는 데 어떻게 활용될 수 있는가?

주요 결과

• 다항 제어 시스템의 MCI 집합은 비음수 측도의 원소인 무한차원 LP 문제의 해로 특징지어진다.
• 원형 LP 리 릿스팅은 MCI 집합의 진짜 부피로 수렴하는 유한차원 LMI 문제의 계층을 제공한다.
• 쌍대 SOS 문제들은 MCI 집합의 외부 근사값을 제공하는 다항식 초수준 집합의 시퀀스를 생성하며, 다항식 차수 증가에 따라 수렴한다.
• 이 방법은 다항식 동역학과 컴 pact 세미대수적 제약 조건을 갖는 이산 및 연속 시간 시스템에 모두 적용 가능하다.
• 이 접근법은 추가 조정 없이 시스템 기술서만 입력으로 요구하며, 단일 정수형 프로그래밍(SDP)을 통해 근사값을 생성한다.
• 수치 예제들은 다양한 비선형 시스템에서 MCI 집합의 수렴하는 외부 근사값을 계산하는 데서 이 방법의 효과성을 입증한다.