[논문 리뷰] Convex computation of the region of attraction of polynomial control systems

Didier Henrion, Milan Korda|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 08.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 5인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 직업 측도에 대한 무한차원 선형계획문(LP)으로 공식화된 다항식 제어 시스템의 안정 영역(ROA)을 계산하기 위한 볼록 최적화 방법을 제안한다. 반면, 반복적이고 비효율적인 기존 이중 라플라스 방법에 비해 점차 수렴하는 외부 근사값을 제공하며, 비보수성과 함께 수렴 성질을 보장한다. 이는 기존의 비볼록 또는 보수적인 조건을 유도하는 이중 라플라스 방법에 비해 보다 볼록이고 직접적인 대안을 제공한다.

ABSTRACT

We address the long-standing problem of computing the region of attraction (ROA) of a target set (e.g., a neighborhood of an equilibrium point) of a controlled nonlinear system with polynomial dynamics and semialgebraic state and input constraints. We show that the ROA can be computed by solving an infinite-dimensional convex linear programming (LP) problem over the space of measures. In turn, this problem can be solved approximately via a classical converging hierarchy of convex finite-dimensional linear matrix inequalities (LMIs). Our approach is genuinely primal in the sense that convexity of the problem of computing the ROA is an outcome of optimizing directly over system trajectories. The dual infinite-dimensional LP on nonnegative continuous functions (approximated by polynomial sum-of-squares) allows us to generate a hierarchy of semialgebraic outer approximations of the ROA at the price of solving a sequence of LMI problems with asymptotically vanishing conservatism. This sharply contrasts with the existing literature which follows an exclusively dual Lyapunov approach yielding either nonconvex bilinear matrix inequalities or conservative LMI conditions. The approach is simple and readily applicable as the outer approximations are the outcome of a single semidefinite program with no additional data required besides the problem description.

연구 동기 및 목표

• 비선형 다항식 제어 시스템에 대한 안정 영역(ROA) 계산이라는 오랜 도전 과제를 해결하기 위해.
• 기존의 이중 라플라스 기반 방법에서 유발되는 보수성과 비볼록성 문제를 피할 수 있는 볼록이고 직접적인 ROA 계산 문제의 수식화를 개발하기 위해.
• 유한차원 선형행렬부등식(LMI) 계층을 사용하여 계산 가능하고 실용적인 프레임워크를 제공하여, ROA의 반대형 외부 근사값을 산출하기 위해.
• 시스템 기술서 이외의 추가 데이터 없이도 진짜 ROA로의 점차적 수렴을 보장하기 위해.
• 결과적으로 유도된 LMI 완화 문제를 해결하기 위한 공개 소프트웨어를 통해 실용적인 구현을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 비음성 보렐 측도 공간 위에서의 무한차원 선형계획문(LP)으로 ROA 계산 문제를 공식화하며, 특히 시스템 궤도를 나타내는 직업 측도를 사용한다.
• 모멘트 이론과 제곱합(SOS)을 활용하여, 비음성 연속 함수 위의 무한차원 LP의 이중 문제를 다항식 SOS 함수로 근사한다.
• 모멘트 및 국소화 행렬 제약 조건을 단순화하여, 점차 수렴하는 외부 근사값을 제공하는 유한차원 선형행렬부등식(LMI) 계층을 구성한다.
• 모멘트 행렬의 완전한 열 랭크와 강력한 이중성 원리를 활용하여 볼록성과 수렴성을 보장하며, 약한 조건 하에서도 이중성 갭이 0이 되도록 보장한다.
• 표준 정수형 프로그래밍(SDP) 해소기를 통해 방법을 구현하며, 시스템 역학과 제약 집합만 입력으로 요구한다.
• 해결 순서가 증가할수록 정확도가 향상되는 단일 LMI를 각 단계에서 풀어, 중첩되고 반대형 외부 근사값을 생성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항식 제어 시스템의 안정 영역(ROA)은 기존의 이중 라플라스 방법에서 발생하는 보수성 문제를 피할 수 있는 볼록이고 직접적인 수식화로 계산될 수 있는가?
• RQ2 ROA 계산 문제는 직업 측도 위의 무한차원 선형계획문으로 공식화 가능하며, 이를 통해 유한차원 LMI 완화 문제의 수렴 계층을 도출할 수 있는가?
• RQ3 다항식 최적화 기법을 활용하여 반대형 외부 근사값을 산출할 수 있으며, 이 근사값의 보수성은 점차 감소하는가?
• RQ4 모멘트 행렬과 국소화 행렬은 진짜 ROA로 수렴하는 LMI 완화 문제의 계층을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 제안된 방법은 추가 문제 특화 데이터나 반복 보정 없이도 표준 SDP 해소기를 통해 효율적으로 구현 가능한가?

주요 결과

• 반세대형 제약 조건이 있는 다항식 제어 시스템의 안정 영역(ROA)은 직업 측도 위의 무한차원 선형계획문(LP)을 통해 계산 가능하다.
• 무한차원 LP 수식화는 본질적으로 직접적이며, 시스템 궤도를 직접 최적화하므로 ROA 계산 문제의 볼록성을 보장한다.
• 유한차원 선형행렬부등식(LMI) 계층은 점차 수렴하는 중첩된 반세대형 외부 근사값을 제공하며, 보수성이 점차 감소한다.
• 모멘트 행렬의 완전한 열 랭크 덕분에 강력한 이중성과 0에 가까운 이중성 갭을 달성하여, LMI 완화 문제의 신뢰할 수 있는 수렴성을 확보한다.
• 이 방법은 계산적으로 실용적이며, 시스템 역학과 제약 집합만 입력으로 요구하므로 표준 정수형 프로그래밍 해소기를 사용한 간편한 구현이 가능하다.
• 제안된 프레임워크는 기존의 비볼록 이중행렬부등식(BMI) 또는 보수적인 LMI 조건에 의존하는 방법과는 뚜렷이 대비되며, 더 신뢰성 있고 체계적인 대안을 제공한다.