[논문 리뷰] Corelations are the prop for extraspecial commutative Frobenius monoids

Brandon Coya, Brendan Fong|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 11.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 19인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 유한 집합의 직합 위의 동치관계인 코레레이션의 범주가 초특수 교환 가능 프로비우스 모노이드의 프롭(prop)과 동치임을 증명한다. 코레레이션을 공동으로 에피크인 코스팬으로 모델링하고, 프롭의 범주에서 공등치자(coequalizer) 구성법을 사용함으로써, 추가 법칙(extra law)이 비연결 성분들을 몫화함으로써 자연스럽게 유도됨을 보이며, 이는 유한 집합에서의 스파인(spans, 관계)과 코스팬(cospans, 코레레이션) 간의 이중성(duality)을 완성한다.

ABSTRACT

Just as binary relations between sets may be understood as jointly monic spans, so too may equivalence relations on the disjoint union of sets be understood as jointly epic cospans. With the ensuing notion of composition inherited from the pushout of cospans, we call these equivalence relations \emph{corelations}. We define the category of corelations between finite sets and prove that it is equivalent to the prop for extraspecial commutative Frobenius monoids. Dually, we show that the category of relations is equivalent to the prop for special commutative bimonoids. Throughout, we emphasise how corelations model interconnection.

연구 동기 및 목표

• 유한 집합의 범주에서 공동으로 에피크인 코스팬의 동형류로 코레레이션을 형식화하기.
• 코레레이션의 범주가 초특수 교환 가능 프로비우스 모노이드의 프롭과 동치인 대칭 모노이드 범주임을 보여주기.
• 코레레이션의 맥락에서 '추가 법칙(extra law)'이 어떻게 자연스럽게 유도되는지, 이를 카테고리적 몫 구성법을 통해 명확히 하기.
• 스파인(관계)과 코스팬(코레레이션) 간의 이중성을 완성하여, 이중성의 대칭 모노이드 범주에서의 상호연결의 대수적 그림을 완성하기.

제안 방법

• 코레레이션을 X + Y의 직합 위의 동치관계로 모델링하고, 이를 공동으로 에피크인 코스팬으로 표현하기.
• 등치류의 추이적 폐쇄를 통해 코레레이션의 합성 정의한 후, 도메인과 공도메인으로 제한하기.
• 유한 집합의 코스팬 범주를 기초로 삼고, 공등치자 다이어그램을 통해 코레레이션을 몫으로 구성하기.
• 추가 법칙이 비연결 성분을 식별하는 몫 관계로서 나타남을 보여주기.
• Lack의 결과를 활용하여, 유한 집합의 코스팬이 특수 교환 가능 프로비우스 모노이드의 프롭임을 이용하기.
• 주요 정리를 증명하기 위해, 초특수 교환 가능 프로비우스 모노이드의 프롭과 코레레이션의 범주가 모두 프롭의 범주에서 동형 다이어그램의 공등치자임을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 집합 간의 코레레이션은 어떤 카테고리적 구조로 형식화될 수 있는가?
• RQ2 코레레이션의 범주가 포괄하는 정확한 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ3 왜 상호연결의 맥락에서 단위가 쌍위에 작용할 때 항등사상이 되어야 하는 '추가 법칙'이 자연스럽게 나타나는가?
• RQ4 스파인(관계)과 코스팬(코레레이션) 간의 이중성이 대칭 모노이드 범주에서 상호연결의 대수적 그림을 어떻게 완성하는가?
• RQ5 추가 법칙은 특수 프로비우스 모노이드의 구조를 몫으로서 카테고리적으로 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 유한 집합 간의 코레레이션의 범주는 대칭 모노이드 범주로서 초특수 교환 가능 프로비우스 모노이드의 프롭과 동치이다.
• 프로비우스 모노이드의 추가 법칙은 비연결 성분을 식별하는 몫 구성법으로 카테고리적으로 기인하며, 연결성만이 중요하다는 개념을 형식화한다.
• 코레레이션을 프롭의 공등치자로 구성하는 방법은 추가 법칙의 깔끔하고 개념적인 유도를 제공하며, 문법적 또는 귀납적 증명과 대비된다.
• 초특수 교환 가능 프로비우스 모노이드에 대한 스피더 정리(spider theorem)는 직접적인 추론이다: 두 사상이 동일한 코레레이션을 유도할 때만 동일하다.
• 스파인(관계)과 코스팬(코레레이션) 간의 이중성은 완성되었다: 스파인이 이중교환 가능 이단백질(bicommutative bimonoids)을 제공한다면, 코스팬은 초특수 교환 가능 프로비우스 모노이드를 제공한다.
• 공등치자에 의한 증명 방법은 일반화 가능한 프레임워크를 제공하며, 적절한 범주에서 선형 관계와 선형 시간 불변 시스템에 적용 가능하다.