[논문 리뷰] Correlation functions for Schrödinger backgrounds

Balt C. van Rees|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 27.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 60인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 동적 지수 z=2를 가진 3차원 슈뢰딩거 시공간에 대해 아인슈타인 중력과 질량이 있는 벡터 장이 결합된 경우, 헬로그래픽 사전을 개발한다. 선형 변형 매개변수 b에 대해 헬로그래픽 수렴을 수행하고, 에너지-모멘텀 텐서와 비상관 벡터 연산자에 대한 매개변수에 의존하지 않는 두 점 함수를 계산하며, 좌측으로 이동하는 바이레로 대칭 대수의 유지가 확인되나, 우측으로 이동하는 부분에서는 증폭된 대칭 대수가 없음을 발견하여, 비상대론적 규격 대칭과 무한 차원 대칭 대수의 부재와 일관된다.

ABSTRACT

We work out the holographic dictionary for the three-dimensional Schrödinger spacetimes. The first step in our analysis involves the correct identification of the dual sources from the radial expansion of the bulk fields, which turns out to be surprisingly subtle. We discuss in detail the holographic renormalization procedure at the linearized level and holographically compute the two-point functions of the energy-momentum tensor and an irrelevant vector operator. We discuss the appearance of multi-trace counterterms, parametrize the scheme dependence in our results, identify the non-relativistic Ward identities and compare them with expectations in the literature. Our results lead to valuable general insights regarding holography for spacetimes that are not of an asymptotically AdS form.

연구 동기 및 목표

• 비-아인슈타인 아드스(Asymptotically AdS) 슈뢰딩거 시공간에 대해 완전한 헬로그래픽 사전을 수립하는 것.
• 비-AlAdS 기하학에서 복수의 복소장 전개를 통해 이중 소스를 식별하는 데서 발생하는 미묘한 문제를 해결하는 것.
• 에너지-모멘텀 텐서와 비상관 벡터 연산자에 대한 유한하고 매개변수에 의존하지 않는 두 점 상관 함수를 계산하는 것.
• 비상대론적 워드 항등식의 구조를 분석하고, 이중 장 이론에서 증폭된 대칭 대수의 존재 또는 부재를 결정하는 것.
• 특히 비상관 변형과 윌슨의 규범군 흐름을 고려할 때, 비-AlAdS 시공간에 대한 헬로그래픽 이론에 대한 통찰을 제공하는 것.

제안 방법

• 유한한 b를 가진 슈뢰딩거 배경에서 복소장에 대해 선형화된 수준에서 헬로그래픽 수렴을 수행한다.
• 경로 적분의 최종 행동식을 사용하여, 일부 연산자 외에도 모든 경계 연산자에 대한 상관 함수를 계산한다.
• 복소장의 반경 방향 전개를 통해 이중 소스를 식별하며, 이는 비-AlAdS 점근적 행동으로 인해 미묘한 문제가 있음을 발견한다.
• 에너지-모멘텀 텐서 T_{ij}와 질량이 있는 벡터 장 A_\mu에 이중되는 벡터 연산자 O_i의 두 점 함수를 계산한다.
• 디피오모르피즘과 웨일 대칭에 대한 워드 항등식을 변형된 장 이론에서 분석하며, 전류 J_{ij} = T_{ij} - 2\pi b_j O_i의 역할을 포함한다.
• 비상대론적 척도 불변성에 관련된 보존 전류 R_i를 유도하고, 그 보존이 무한한 보존 전류 J_{uu} u^k의 형태로 이어짐을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비-아인슈타인 아드스(AlAdS)가 아닌 슈뢰딩거 시공간에 대해 일관된 헬로그래픽 사전을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 이중 장 이론에서 에너지-모멘텀 텐서와 비상관 벡터 연산자의 두 점 함수의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ3 비상대론적 변형은 무한 차원 대칭 대수를 유지하는가, 특히 우측으로 이동하는 부분에서 그러한 증폭이 발생하는가?
• RQ4 디피오모르피즘과 웨일 변환 불변성 포함된 비상대론적 워드 항등식은 상관 함수를 어떻게 제약하는가?
• RQ5 다중 트레이스 보정항과 매개변수 의존성은 헬로그래픽 상관 함수 계산에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 에너지-모멘텀 텐서 T_{ij}와 벡터 연산자 O_i의 두 점 함수는 헬로그래픽적으로 계산되었으며, 매개변수에 의존하지 않는 부분이 명시적으로 결정되었다.
• 비상대론적 변형은 좌측으로 이동하는 바이레로 대칭 대수의 유지가 확인되어, 비상대론적 관점에서 변형의 치르얼 마진랄리티가 확인된다.
• 우측으로 이동하는 부분에서는 무한 차원 대칭 대수의 증폭이 발견되지 않아, 일부 이전 문헌의 기대와는 정반대이다.
• 이동 불변성과 관련된 보존 전류는 J_{ij} = T_{ij} - 2\pi b_j O_i 로 표현되며, 대칭적이지 않아 로렌츠 불변성이 깨진다.
• d=2 이고 Δ=3 인 경우, 비상대론적 척도 불변성과 관련된 전류 R_i는 보존되며, 이는 J_{uu} u^k 형태의 무한한 보존 전류로 이어진다.
• J_{uu} u^k 의 보존은 좌측으로 이동하는 바이레로 대칭 대수가 유지됨을 의미하며, J_{vu} 는 자취가 없는 (접촉 항으로 축소되는) 것으로 확인되어, 우측으로 이동하는 대칭 증폭의 부재와 일관된다.