[논문 리뷰] Cosmological time versus CMC time I: Flat spacetimes

Lars Andersson, Thierry Barbot외 2명|arXiv (Cornell University)|2006. 04. 22.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 차원 $n \geq 3$인 최대, 전역적으로 초월적인, 평탄한 시공간에서 컴팩트한 코시 초표면을 가진 경우, 전역 CMC(일정 평균 곡률) 초표면의 전역 분할이 존재하는 것과 그 시공간이 인과적으로 불완전할 때 정확히 일치함을 증명한다. 증명은 우주론적 시간 함수의 등고선을 기하학적 장벽으로 사용하며, 개념적으로 단순한 방법을 제공하여 더 넓은 종류의 일정 곡률 시공간으로 일반화 가능하며, 향후 CMC 분할의 점점 가까운 행동 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper gives a new proof that maximal, globally hyperbolic, flat spacetimes of dimension $n\geq 3$ with compact Cauchy hypersurfaces are globally foliated by Cauchy hypersurfaces of constant mean curvature, and that such spacetimes admit a globally defined constant mean curvature time function precisely when they are causally incomplete. The proof, which is based on using the level sets of the cosmological time function as barriers, is conceptually simple and will provide the basis for future work on constant mean curvature time functions in general constant curvature spacetimes, as well for an analysis of the asymptotics of constant mean foliations.

연구 동기 및 목표

• 최대, 전역적으로 초월적인, 평탄한 시공간에서 컴팩트한 코시 초표면을 가진 경우 전역 일정 평균 곡률(CMC) 분할의 존재를 확립하는 것.
• 전역 CMC 시간 함수가 존재하는 정확한 조건—특히 인과적 불완전성—을 명확히 하는 것.
• 우주론적 시간 함수의 등고선을 장벽으로 사용하는 기하학적 방법을 개발하여, 이전 접근 방식에 비해 개념적으로 단순한 대안을 제공하는 것.
• 향후 일반 일정 곡률 시공간에서 CMC 시간 함수와 점점 가까운 행동 분석의 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 증명은 우주론적 시간 함수의 등고선을 사용하여 CMC 초표면을 구성하는 데 사용된다.
• 최대 원리(maximum principle)를 적용하여 도메인 $E^+(\Lambda)$의 기하학으로부터 유도된 장벽의 평균 곡률 한계를 제어한다.
• 구성은 MGHF 시공간이 평탄한 정규 영역 $E^+(\Lambda)$ 또는 $E^-(\Lambda)$의 몫으로 분류됨을 기반으로 한다.
• 과거와 미래 점점 가까운 $\alpha$- 및 $\beta$-장벽을 정의하기 위해 $a \to 0$ 및 $a \to \infty$ 방향의 초표면 시퀀스 $\Sigma_a$ 를 사용한다.
• 이러한 시퀀스에 대해 장벽 정리(정리 5.3)를 적용하여 전역 CMC 시간 함수의 존재를 유도한다.
• 지오데식적으로 완전한 경우, 이 방법은 임의의 CMC 코시 초표면이 최대 원리에 의해 표준적인 완전히 지오데식적인 분할의 잎과 일치해야 한다고 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최대, 전역적으로 초월적인, 평탄한 시공간에서 컴팩트한 코시 초표면을 가진 경우, 어떤 조건에서 전역 CMC 시간 함수가 존재하는가?
• RQ2 우주론적 시간 함수를 기하학적 장벽으로 사용하여 CMC 분할을 구성할 수 있는가?
• RQ3 이러한 시공간에서 인과적 완전성과 전역 CMC 시간 함수 존재 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 컴팩트한 코시 표면을 가진 평탄한 시공간에서 CMC 분할은 점점 가까운 행동에서 어떻게 행동하는가?
• RQ5 지오데식적으로 완전한 MGHF 시공간에서 모든 CMC 코시 초표면은 반드시 표준적인 완전히 지오데식적인 분할의 잎이어야 하는가?

주요 결과

• 최대, 전역적으로 초월적인, 평탄한 시공간에서 컴팩트한 코시 초표면을 가진 경우, 전역적으로 CMC 초표면으로 분할된다.
• 전역 CMC 시간 함수가 존재하는 것은 시공간이 인과적으로 불완전할 때 정확히 일치한다.
• 우주론적 시간 함수의 등고선은 CMC 분할을 구성하는 데 효과적인 장벽으로 기능한다.
• 인과적으로 불완전한 시공간의 경우, CMC 시간 함수 $\tau_{\text{cmc}}$ 는 부등식 $|\tau| \leq -\frac{1}{\tau_{\text{cmc}}} \leq (n-1)|\tau|$ 를 만족한다.
• 지오데식적으로 완전한 경우, 모든 CMC 코시 초표면은 시공간적 이동에 의해 유도된 표준적인 완전히 지오데식적인 분할의 잎이어야 한다.
• 최대 원리에 의해, 표준 분할의 잎과 접촉하는 임의의 CMC 초표면은 그와 정확히 일치해야 하며, 이는 이러한 잎의 유일성을 증명한다.