[논문 리뷰] Coxeter groups and automorphisms

Meinolf Geck, Lăcrimioara Iancu|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 17.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Coxeter 군의 축소 표현만을 사용하여, 생성집합 $S$ 를 유지하는 자동형사상의 군 $\Gamma$ 작용에 대한 고정점 부분군 $W^\Gamma$ 가 $\{w_I \mid I \in \bar{S}\}$ 를 생성원으로 갖는 Coxeter 군임을 조합론적으로 증명한다. 여기서 $\bar{S}$ 는 $W_I$ 가 유한한 $\Gamma$-오빗 $I \subseteq S$ 의 집합이다. 핵심 기여는 반사 표현을 사용하지 않고도 $W$ 상의 길이 함수가 $W^\Gamma$ 상의 가중치 함수로 제한된다는 것을 보이는 것이다.

ABSTRACT

Let $(W,S)$ be a Coxeter system and $Γ$ be a group of automorphisms of $W$ such that $γ(S)=S$ for all $γ\in Γ$. Then it is known that the group of fixed points $W^Γ$ is again a Coxeter group with a canonically defined set of generators. The usual proofs of this fact rely on the reflection representation of $W$. Here, we give a proof which only uses the combinatorics of reduced expressions in $W$. As a by-product, this shows that the length function on $W$ restricts to a weight function on $W^Γ$.

연구 동기 및 목표

• Coxeter 군 $W$ 의 생성집합 $S$ 를 유지하는 자동형사상의 군 $\Gamma$ 작용에 대해 고정점 부분군 $W^\Gamma$ 가 자체적으로 Coxeter 군임을 순수하게 조합론적인 방법으로 증명하는 것.
• 반사 표현을 사용하지 않고, $W$ 상의 길이 함수 $l$ 가 $W^\Gamma$ 상의 가중치 함수로 제한된다는 것을 증명하는 것.
• $\bar{S}$ 가 $W_I$ 가 유한한 $\Gamma$-오빗 $I \subseteq S$ 의 집합일 때, $\{w_I \mid I \in \bar{S}\}$ 가 $W^\Gamma$ 에 대한 표준적인 Coxeter 생성원 집합임을 보이는 것.
• $W$ 에서 $l(ww') = l(w) + l(w')$ 이 성립하는 것과 $W^\Gamma$ 에서 $\lambda(ww') = \lambda(w) + \lambda(w')$ 가 성립하는 것이 동치임을 보이는 것. 여기서 $\lambda$ 는 $W^\Gamma$ 상의 길이 함수이다.

제안 방법

• $W_I$ 의 특별한 오른쪽 여부대표 $X_I$ 를 사용하여, $W^\Gamma$ 의 원소를 $\Gamma$-오빗 $J \subseteq S$ 에 대응하는 최장 원소 $w_J$ 들의 곱으로 분해하는 것.
• $w \in W^\Gamma$ 의 길이 $l(w)$ 에 대한 귀납법을 사용하여, $l(w) = \sum l(w_{J_i})$ 이고 $J_i \in \bar{S}$ 인 $w = w_{J_1} \bullet \cdots \bullet w_{J_r}$ 의 형태로 $w$ 를 표현하는 것.
• $\gamma(w) = w$ 이고 모든 $\gamma \in \Gamma$ 와 $w \in W^\Gamma$ 에 대해 성립하는 사실을 이용하여, $W$ 에서의 교환 조건을 $W^\Gamma$ 에서의 해당 조건으로 이끌어내는 것.
• $K = I \cup J$, $I,J \in \bar{S}$ 일 때 $W_K^\Gamma$ 의 이면군 구조를 이용하여 $W^\Gamma$ 의 원소의 곱 구조와 길이 행동을 분석하는 것.
• $m$ 이 이면군의 순서일 때, $w_K = w_I \bullet w_J \bullet w_I \cdots$ ($m$ 개의 항) 이라는 등식을 증명하여 $l(w_K) = \frac{m}{2}(l(w_I) + l(w_J))$ 임을 보이는 것.
• $W^\Gamma$ 의 원소 $w$ 를 $w_I$ 들의 최소 분해로 표현할 때의 인자 수가 분해에 관계없이 일정함을, 귀납법과 축소 표현의 비교를 통해 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반사 표현을 사용하지 않고, $W^\Gamma$ 가 Coxeter 군임을 증명할 수 있는가?
• RQ2 길이 함수 $l$ 이 $W$ 상에서 $W^\Gamma$ 상의 가중치 함수로 제한되는가?
• RQ3 $\{w_I \mid I \in \bar{S}\}$ 가 $W^\Gamma$ 에 대한 표준적인 Coxeter 생성원 집합인가?
• RQ4 $W^\Gamma$ 에서 $l(ww') = l(w) + l(w')$ 가 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 $W$ 의 축소 표현의 조합론이 $W^\Gamma$ 의 구조를 어떻게 제어하는가?

주요 결과

• $W^\Gamma$ 는 $\bar{S}$ 가 $W_I$ 가 유한한 $\Gamma$-오빗 $I \subseteq S$ 의 집합일 때, 생성원 $\{w_I \mid I \in \bar{S}\}$ 을 갖는 Coxeter 군이다.
• $W$ 상의 길이 함수 $l$ 이 $W^\Gamma$ 상의 가중치 함수로 제한되며, 이는 $l(ww') = l(w) + l(w')$ 이 성립하는 것과 $\lambda(ww') = \lambda(w) + \lambda(w')$ 가 성립하는 것이 동치임을 의미한다. 여기서 $w,w' \in W^\Gamma$ 이다.
• $W^\Gamma$ 의 모든 원소 $w$ 는 $J_i \in \bar{S}$ 인 $w = w_{J_1} \bullet \cdots \bullet w_{J_r}$ 의 형태로 표현 가능하며, 이러한 인자의 수 $r$ 은 분해에 관계없이 일정하며, $\lambda(w)$ 와 같다.
• $I,J \in \bar{S}$ 이고 $I \neq J$ 일 때, $W_{I \cup J}^\Gamma$ 는 순서 $2m$ 의 이면군이며, $K = I \cup J$ 에 대해 최장 원소 $w_K$ 는 $w_K = w_I \bullet w_J \bullet w_I \cdots$ ($m$ 개의 항) 를 만족한다.
• $\{w_I \mid I \in \bar{S}\}$ 에 대한 교환 조건이 $W^\Gamma$ 에서 성립함을 보여, $(W^\Gamma, \{w_I \mid I \in \bar{S}\})$ 가 Coxeter 시스템임을 확인한다.
• $I_0 \subseteq S$ 가 $\Gamma$-안정적이고 $W_{I_0}$ 가 유한할 때, $W_{I_0}$ 를 고정하는 $W$ 의 부분군 $\mathscr{W}^\Gamma$ 는 생성원 $s_J = w_{I_0 \cup J} w_{I_0}$ ($J \in \mathscr{S}$) 를 갖는 Coxeter 군으로 확장된다.