[논문 리뷰] CREATION OF HOMOCLINIC TANGENCIES IN HAMILTONIANS BY THE SUSPENSION OF POINCAR ´ E SECTIONS

Ario Bessa, Ao Lopes Dias|arXiv (Cornell University)|2011. 07. 21.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 임의의 심플렉틱 4차원 다양체 위의 해밀토니안과 그 다각체 내 임의의 점 p에 대해, C²-편미분을 통해 p를 통과하는 정규 에너지 표면이 아노소프이거나 동질형 접선을 포함하는 해밀토니안을 얻을 수 있음을 보여준다. 이 구성은 파oincaré 절단에서 유도된 심플렉토모르피즘의 스펜딩에 기반하며, 기존의 동질형 접선 결과를 해밀토니안 시스템으로 확장한다.

ABSTRACT

In this note we show that for any Hamiltonian defined on a symplectic 4-manifold M and any point p 2 M, there exists a C 2 -close Hamiltonian whose regular energy surface through p is either Anosov or it contains a homoclinic tangency. Our result is based on a general construction of Hamiltonian suspensions for given symplectomorphisms on Poincare sections already known to yield similar properties.

연구 동기 및 목표

• 심플렉틱 4차원 다각체 위의 해밀토니안 시스템의 C²-편미분에서 동질형 접선의 존재를 확립한다.
• 정규 에너지 표면이 비균일한 하이퍼볼릭성 또는 접선을 보일 경우에도 해밀토니안 스펜딩의 구성 방법을 확장한다.
• 위상공간 내 주어진 점 p에 대해, p를 통과하는 에너지 표면이 C²-편미분을 통해 아노소프이거나 동질형 접선을 포함하도록 만들 수 있음을 보인다.
• 파oincaré 절단 기법을 사용하여 기존의 미분형에서의 동질형 접선 결과를 해밀토니안 설정으로 일반화한다.

제안 방법

• 저자는 파oincaré 절단에서 정의된 심플렉토모르피즘으로부터 해밀토니안을 스펜딩하는 방법을 사용한다.
• 심플렉토모르피즘으로부터 해밀토니안 흐름을 생성하는 기존 기법을 적용하여, 결과 시스템이 원래 시스템에 대해 C²-근접하도록 보장한다.
• 이 방법은 파oincaré 절단에서의 심플렉토모르피즘이 전체 4차원 다각체 위의 해밀토니안 흐름을 생성하도록 스펜딩할 수 있다는 사실에 기반한다.
• 특정 역학적 특징(예: 동질형 접선)을 갖는 심플렉토모르피즘을 선택함으로써, 결과 해밀토니안 시스템은 에너지 표면에서 이러한 특징을 계승한다.
• 구성은 심플렉틱 구조를 유지하며, p를 통과하는 에너지 표면이 잘 정의되고 정규임을 보장한다.
• 핵심 아이디어는 파oincaré 복귀 사상의 역학이 직접적으로 스펜딩된 해밀토니안의 전반적 역학에 영향을 준다는 것이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 작은 C²-편미분을 통해 해밀토니안 시스템에서 동질형 접선을 생성할 수 있는가?
• RQ2 해밀토니안 시스템의 정규 에너지 표면이 아노소프이거나 동질형 접선을 포함하도록 만들 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ3 파oincaré 절단에서의 심플렉토모르피즘 스펜딩은 어떤 식으로 원하는 역학적 특성을 갖는 해밀토니안 시스템을 생성하는가?
• RQ4 심플렉틱 4차원 다각체 내의 임의의 점 p에 대해, 소규모 C²-편미분을 통해 p를 통과하는 에너지 표면이 동질형 접선을 포함하도록 만들 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 심플렉틱 4차원 다각체 위의 해밀토니안과 그 다각체 내 임의의 점 p에 대해, p를 통과하는 정규 에너지 표면이 아노소프이거나 동질형 접선을 포함하는 C²-근접한 해밀토니안이 존재한다.
• 이러한 해밀토니안의 구성은 이미 동질형 접선 또는 아노소프 행동을 보이는 파oincaré 절단에서의 심플렉토모르피즘의 스펜딩에 기반한다.
• 이 방법은 원래 시스템에 대해 C²-근접한 편미분을 유지하면서도 에너지 표면의 역학적 구조를 변화시킨다.
• 이 결과는 기존의 미분형에서의 동질형 접선 결과를 해밀토니안 설정으로 일반화한다.
• p를 통과하는 에너지 표면는 정규로 유지되어 수렴성의 미세한 구조가 손상되지 않는다.
• 스펜딩 기법은 파oincaré 절단에서의 국소적 역학적 특성을 전역적 해밀토니안 흐름으로 성공적으로 이전한다.