[论文解读] Crepant resolutions of weighted projective spaces and quantum deformations

Samuel Boissière, Étienne Mann+1 more|ArXiv.org|Oct 20, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用 9

一句话总结

本文建立了加权射影空间的陈-阮上同调与它们的创痕解析解的量子修正上同调之间的量子上同调同构。对于 $\mathbb{P}(1,3,4,4)$，证明了在将量子参数代入 $ (i,i,i,0) $ 或 $ (-i,-i,-i,0) $ 后，陈-阮上同调环同构于创痕解析解的量子修正上同调环。对于 $\mathbb{P}(1,\ldots,1,n)$，通过格罗莫夫-威滕不变量和有理双曲点的形变理论，证明了陈-阮上同调环同构于创痕解析解的普通上同调环。

ABSTRACT

We compare the Chen-Ruan cohomology ring of the weighted projective spaces $\IP(1,3,4,4)$ and $\IP(1,...,1,n)$ with the cohomology ring of their crepant resolutions. In both cases, we prove that the Chen-Ruan cohomology ring is isomorphic to the quantum corrected cohomology ring of the crepant resolution after suitable evaluation of the quantum parameters. For this, we prove a formula for the Gromov-Witten invariants of the resolution of a transversal ${ m A}_3$ singularity.

研究动机与目标

• 通过比较陈-阮上同调与创痕解析解的量子修正上同调，验证特定加权射影空间的上同调创痕解析解猜想。
• 利用有理双曲点的形变理论，计算创痕解析解的横截 $A_3$ 奇点的格罗莫夫-威滕不变量。
• 在特定量子参数代入后，建立 $\mathbb{P}(1,3,4,4)$ 的陈-阮上同调环与创痕解析解的量子修正上同调环之间的环同构。
• 证明对于 $\mathbb{P}(1,\ldots,1,n)$，其陈-阮上同调环同构于创痕解析解的普通上同调环，从而在该情形下确认猜想。

提出的方法

• 作者计算了创痕解析解在横截 $A_3$ 奇点上，被例外除子收缩的曲线的三点多 genus-zero 格罗莫夫-威滕不变量。
• 他们利用格罗莫夫-威滕不变量的形变不变性以及有理双曲点表面的形变理论来计算这些不变量。
• 对于 $\mathbb{P}(1,3,4,4)$，量子修正上同调环由包含四个量子参数 $q_1, q_2, q_3, q_4$ 的小量子上同调构造而成，这些参数对应于解析解的不同组成部分。
• 创痕解析解的环结构通过堆叠扇形的 торic 描述推导得出，利用了 torus-不变线丛的陈类和 Chow 环中的关系。
• 对于 $\mathbb{P}(1,\ldots,1,n)$，通过在 $\frac{1}{n}(1,\ldots,1)$ 奇点上添加新射线的 toric 解析解，计算了创痕解析解的上同调环。
• 陈-阮上同调通过由 $\exp(2\pi i k/n)$ 索引的扭扇区计算，其环结构通过包含 $H$ 和 $E_1$ 的生成元与关系表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $\mathbb{P}(1,3,4,4)$，上同调创痕解析解猜想是否成立，特别是量子上同调同构在参数特化后是否成立？
• RQ2 创痕解析解的横截 $A_3$ 奇点的格罗莫夫-威滕不变量是什么？它们如何贡献于量子修正上同调？
• RQ3 对于 $\mathbb{P}(1,\ldots,1,n)$，其陈-阮上同调环是否同构于其创痕解析解的普通上同调环？
• RQ4 在 $\mathbb{P}(1,3,4,4)$ 的情形下，量子修正上同调中的量子参数如何与陈-阮上同调结构相关联？
• RQ5 是否可以通过显式的环映射和参数代入，建立陈-阮上同调与量子修正上同调之间的同构？

主要发现

• 对于 $\mathbb{P}(1,3,4,4)$，当量子参数被代入 $ (i,i,i,0) $ 或 $ (-i,-i,-i,0) $ 时，其陈-阮上同调环同构于创痕解析解的量子修正上同调环，如定理 3.3 所述。
• 在横截 $A_3$ 奇点上被收缩的曲线的格罗莫夫-威滕不变量已计算，并用于确定解析解上同调环中的量子修正。
• 对于 $\mathbb{P}(1,\ldots,1,n)$，其陈-阮上同调环同构于创痕解析解的普通上同调环，如命题 6.1 所示。
• 创痕解析解的上同调环表示为 $ \mathbb{C}[h,e]/\langle h^n + (-1)^n (e/n)^n, he \rangle $，其中 $ h = b_0 + \frac{1}{n}e $。
• 对于 $\mathbb{P}(1,\ldots,1,n)$ 的陈-阮上同调环同构于 $ \mathbb{C}[H,E_1]/\langle H^n - E_1^n, HE_1 \rangle $，同构由 $ H \mapsto h $，$ E_1 \mapsto -\exp(\frac{i\pi}{n}) \frac{e}{n} $ 给出。
• 在 $\mathbb{P}(1,\ldots,1,n)$ 的情形下，量子参数 $ q_1 $ 被设为零，从而无需计算该分量的非平凡格罗莫夫-威滕不变量。