[论文解读] The Quantum Orbifold Cohomology of Weighted Projective Spaces

Tom Coates, Alessio Corti+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 42被引用 10

一句话总结

本文通过将小量子轨道丛上同调与环路空间的 $S^1$-等变弗洛尔上同调联系起来的广义吉文塔尔启发式方法，计算了任意加权射影空间的小量子轨道丛上同调。通过在 toric 和稳定映射紧化上使用等变局部化，证明了小 $J$-函数的猜想公式，从而首次建立了具有显式已知小量子轨道丛上同调的高维轨道丛非平凡族，包括具有终端奇点的完全交集。

ABSTRACT

We calculate the small quantum orbifold cohomology of arbitrary weighted projective spaces. We generalize Givental's heuristic argument, which relates small quantum cohomology to S^1-equivariant Floer cohomology of loop space, to weighted projective spaces and use this to conjecture an explicit formula for the small J-function, a generating function for certain genus-zero Gromov-Witten invariants. We prove this conjecture using a method due to Bertram. This provides the first non-trivial example of a family of orbifolds of arbitrary dimension for which the small quantum orbifold cohomology is known. We also obtain formulas for the small J-functions of weighted projective complete intersections satisfying a combinatorial condition; this condition naturally singles out the class of orbifolds with terminal singularities.

研究动机与目标

• 计算任意加权射影空间 $\mathbb{P}^\mathbf{w}$ 的小量子轨道丛上同调环，该类轨道丛具有非平凡奇点。
• 将吉文塔尔关于量子上同调与环路空间的 $S^1$-等变弗洛尔上同调之间关系的启发式方法推广至轨道丛情形。
• 通过基于等变上同调与局部化的伯特伦方法，证明小 $J$-函数的猜想公式，该函数是 genus-zero Gromov–Witten 不变量的生成函数。
• 将结果推广至满足组合条件的加权射影完全交集，该条件可表征终端奇点。

提出的方法

• 将吉文塔尔的启发式论证推广，以建立 $\mathbb{P}^\mathbf{w}$ 的小量子轨道丛上同调与其实环路空间 $L\mathbb{P}^\mathbf{w}$ 的 $S^1$-等变弗洛尔上同调之间的关系。
• 构造有理曲线空间的两种紧化：一种是 toric 紧化，另一种是映射到 $\mathbb{P}^\mathbf{w} \times \mathbb{P}(1,r)$ 且第二因子中度为 $1/r$ 的 genus-zero 稳定映射模空间。
• 使用这两个紧化之间的 $\mathbb{C}^\times$-等变映射，关联其等变上同调类。
• 应用等变局部化，计算 toric 紧化上 $\mathbb{C}^\times$-等变上同调类的积分，将其转化为稳定映射紧化上的积分。
• 利用所得表达式，验证小 $J$-函数的猜想公式，该公式以年龄偏移度数与轨道丛不变量表示。
• 利用量子莱夫谢茨定理与 $S^1$-等变弗洛尔上同调上的 $\mathcal{D}$-模结构，将 $J$-函数与量子上同调环关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缺乏光滑环境空间的情况下，如何计算加权射影空间的小量子轨道丛上同调？
• RQ2 吉文塔尔关于量子上同调与 $S^1$-等变弗洛尔上同调之间关系的启发式方法能否推广至具有非平凡稳定子群的轨道丛？
• RQ3 加权射影空间的小 $J$-函数的显式形式是什么？它如何编码 genus-zero Gromov–Witten 不变量？
• RQ4 哪些加权射影完全交集具有良定义的小量子轨道丛上同调？何种条件可保证其终端奇点？
• RQ5 有理曲线紧化上的 $\mathbb{C}^\times$-等变结构如何与 $J$-函数及量子不变量关联？

主要发现

• 任意加权射影空间 $\mathbb{P}(w_0,\dots,w_n)$ 的小量子轨道丛上同调环通过已证明的小 $J$-函数公式得到完整计算。
• 源自广义吉文塔尔启发式的猜想 $J$-函数，通过 $\mathbb{C}^\times$-等变紧化上等变局部化的方法被严格证明。
• 该方法首次建立了任意维数下具有已知小量子轨道丛上同调的轨道丛非平凡族。
• 对于拟光滑的加权射影完全交集 $\mathcal{X} \subset \mathbb{P}^\mathbf{w}$，在满足一个组合条件的前提下，小 $J$-函数得以计算，该条件可表征终端奇点。
• 对所有 $f \in F$，条件 $\sum_{i=0}^n \langle fw_i \rangle > 1 + \sum_{j=0}^m \langle fd_j \rangle$ 是终端奇点的必要且充分条件，经 Reid–Tai 判别法确认。
• 当 $k_\mathcal{X} = 0$ 时，$J$-函数的形式为 $I_{\mathcal{X}}(t) = \iota_*\left(F(t)z + G(t) + O(z^{-1})\right)$；当 $k_\mathcal{X} < 0$ 时，形式为 $I_{\mathcal{X}}(t) = \iota_*\left(z + \tau(t) + O(z^{-1})\right)$，其中 $\tau(t)$ 与 $G(t)/F(t)$ 由轨道丛几何决定。