[논문 리뷰] Critical Points and Gr\"obner Bases: the Unmixed Case

Jean‐Charles Faugère, Mohab Safey El Din외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 01.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 19인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 다항식 사상이代수다양체 위에 제약된 임계점들을 정의하는 시스템에 대한 그로버 기저를 계산하는 최초의 복잡도 분석을 제공한다. 일반성 조건 하에서 복잡도는 임계점의 수에 대해 다항식이며, 이 수는 D^p(D−1)^{n−p} \binom{n−1}{p−1} 이다. 명시적인 경계를 통해 n에 대한 다항식 의존성과 p에 대한 지수적 의존성이 2차 경우(D=2)에서 확인된다.

ABSTRACT

We consider the problem of computing critical points of the restriction of a polynomial map to an algebraic variety. This is of first importance since the global minimum of such a map is reached at a critical point. Thus, these points appear naturally in non-convex polynomial optimization which occurs in a wide range of scientific applications (control theory, chemistry, economics,...). Critical points also play a central role in recent algorithms ofeffectiverealalgebraicgeometry. Experimentally, it has been observed that Gröbner basis algorithms are efficient to compute such points. Therefore, recent software based on the so-called Critical Point Method are built on Gröbner bases engines. Let f1,...,fp be polynomials in Q[x1,...,xn] of degree D, V ⊂ C n be their complex variety and π1 be the projection map (x1,...,xn) ↦ → x1. Thecriticalpointsoftherestrictionofπ1to V are defined by the vanishing of f1,...,fp and some maximal minors of the Jacobian matrix associated to f1,...,fp. Suchasystemisalgebraicallystructured:theidealitgenerates is the sum of a determinantal ideal and the ideal generated by f1,...,fp. We provide the first complexity estimates on the computation of Gröbner bases of such systems defining critical points. We prove that under genericity assumptions on f1,...,fp, thecomplexityis polynomial in the generic number of critical points, i.e. D p (D − 1) n−p () n−1.Moreparticularly,inthe p−1 quadratic case D =2,thecomplexityofsuchaGröbnerbasiscomputationispolynomial in the number of variables n and exponential in p. We also give experimental evidence supporting these theoretical results.

연구 동기 및 목표

• 다항식 사상이 대수다양체 위에 제약된 임계점들을 정의하는 시스템에 대한 그로버 기저 알고리즘의 계산 복잡도를 분석하는 것.
• 비볼록 다항식 최적화에서 핵심 문제인 임계점의 이론적 복잡도 경계를 설정하는 것.
• 비판점 방법 기반 소프트웨어에서 그로버 기저 방법의 경험적 효율성을 정당화하기 위해 공식적인 복잡도 추정치를 제공하는 것.
• 임계점 방정식에 의해 생성된 아이디얼의 구조를 연구하여, 이 아이디얼이 결정식 아이디얼과 다양체의 아이디얼의 합임을 보여주는 것.
• 특히 2차 경우(D=2)에서, 일반적인 임계점의 수에 대해 다항식 복잡도 추정치를 제공하는 것.

제안 방법

• 임계점을 다항식 f1,…,fp의 영이 되는 것과 그 야코비안 행렬의 최대 근사형의 합으로 구성된 시스템의 해로 모델링하는 것.
• 임계점의 정의 아이디얼이 〈f1,…,fp〉 아이디얼과 야코비안 행렬의 소수로부터 유도된 결정식 아이디얼의 합임을 특성화하는 것.
• 일반성 조건 하에서 이 복합 아이디얼의 구조를 분석하기 위해代수기하학 기법을 적용하는 것.
• 이 구조적 시스템을 해결하는 데 필요한 계산 복잡도를 추정하기 위해 그로버 기저 이론을 사용하는 것.
• 일반 조건 하에서 임계점의 수에 따라 복잡도 경계를 유도하며, 특히 D^p(D−1)^{n−p} \binom{n−1}{p−1} 로 표현하는 것.
• 합성 및 벤치마크 다항식 시스템에 대한 실험 결과를 통해 이론적 결과를 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항식 사상이 대수다양체 위에 제약된 임계점들을 정의하는 시스템에 대한 그로버 기저 계산의 계산 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 특히 2차 경우(D=2)에서 변수 수 n과 다항식 수 p에 따라 복잡도는 어떻게 변화하는가?
• RQ3 임계점 아이디얼의 대수적 구조—즉, 결정식 아이디얼과 다양체 아이디얼의 합—가 더 낮은 복잡도 경계를 도출하는 데 활용될 수 있는가?
• RQ4 임계점 수에 대해 복잡도가 다항식으로 유지되는 일반성 조건은 무엇인가?
• RQ5 이론적 복잡도 추정치는 임계점 시스템에 대한 그로버 기저 계산에서 경험적 성능과 어느 정도 일치하는가?

주요 결과

• 임계점 시스템에 대한 그로버 기저 계산의 복잡도는 일반적인 임계점 수에 대해 다항식이며, 이 수는 D^p(D−1)^{n−p} \binom{n−1}{p−1} 이다.
• 2차 경우(D=2)에서는 변수 수 n에 대해 다항식 복잡도이고 p에 대해 지수적 복잡도이며, 관측된 계산 행동과 일치한다.
• 임계점의 정의 아이디얼은 다양체 아이디얼 〈f1,…,fp〉과 야코비안 소수로부터 유도된 결정식 아이디얼의 합이다.
• 벤치마크 시스템에 대한 실험적 증거는 이론적 복잡도 경계를 지지하며, 점근적 추정치를 검증한다.
• 이 결과는 비판점 방법 기반 소프트웨어에서 그로버 기저 엔진의 효율성에 대한 공식적 기반을 제공한다.
• 분석은 비볼록 최적화 환경에서도 일반성 조건 하에서 임계점에 대한 그로버 기저 계산이 처리 가능하다고 밝힌다.