[논문 리뷰] Critical thickness of an optimum extended surface characterized by uniform heat transfer coefficient

Theodoros Leontiou, Marios M. Fyrillas|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 16.

Heat Transfer and Optimization참고 문헌 34인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 균일한 대류 열전달 조건을 갖는 2차원 주기적 채널에서 확장 표면(핀)의 최적 형상을 조사한다. 경계 요소 방법과 일반화된 샤우르츠-크리스토펠 변환을 사용하여 역설계 문제를 해결한다. 연구 결과 최적의 핀은 무한히 얇으며, 핀이 열전달을 향상시킬 수 있는 임계 비토 수(Bi_c ≈ 16.4)가 존재함을 밝혀내었으며, 이 경우 핀이 열전달을 향상시키는 조건은 Bi × 두께 < 1.64이며, 이는 핀 길이나 기초 두께와 무관하다.

ABSTRACT

We consider the heat transfer problem associated with a periodic array of extended surfaces (fins) subjected to convection heat transfer with a uniform heat transfer coefficient. Our analysis differs from the classical approach as (i) we consider two-dimensional heat conduction and (ii) the base of the fin is included in the heat transfer process. The problem is modeled as an arbitrary two-dimensional channel whose upper surface is flat and isothermal, while the lower surface has a periodic array of extensions/fins which are subjected to heat convection with a uniform heat transfer coefficient. Using the generalized Schwarz-Christoffel transformation the domain is mapped onto a straight channel where the heat conduction problem is solved using the boundary element method. The boundary element solution is subsequently used to pose a shape optimization problem, i.e. an inverse problem, where the objective function is the normalized Shape Factor and the variables of the optimization are the parameters of the Schwarz-Christoffel transformation. Numerical optimization suggests that the optimum fin is infinitely thin and that there exists a critical Biot number that characterizes whether the addition of the fin would result in an enhancement of heat transfer. The existence of a critical Biot number was investigated for the case of rectangular fins. {\bf It is concluded that a rectangular fin is effective if its thickness is less than} $1.64 k/h$, where the $h$ is the heat transfer coefficient and $k$ is the thermal conductivity. This result is independent of both the thickness of the base and the length of the fin.

연구 동기 및 목표

• 균일한 대류 열전달 조건을 갖는 2차원 주기적 채널에서 열전달을 최대화하는 최적의 핀 기하구조를 규명하는 것.
• 이soothermal 조건에서 핀이 열전달을 감소시킬 수 있는 역설을 해결하기 위해 임계 비토 수 기준을 규명하는 것.
• 비토 수와 핀 두께에 따른 직사각형 핀의 효과성을 조사하는 것.
• 경계 요소 방법과 복소변수 변환을 사용하여 형상 최적화 문제를 역설계 과제로 수립하고 해결하는 것.
• 핀 길이나 기초 두께와 무관한 차원 없는 기준을 설정하는 것.

제안 방법

• 등온 상부 표면과 주기적인 핀을 갖는 하부 표면을 가진 주기적 채널 내 2차원 열전도 문제를 모델링한다.
• 복잡한 핀 기하구조를 분석적으로 다룰 수 있도록 일반화된 샤우르츠-크리스토펠 변환을 적용하여 직선 채널로 매핑한다.
• 변환된 도메인에서 경계 요소 방법을 사용하여 정 steady-state 열전도의 라플라스 방정식을 해결한다.
• 형상 최적화를 비선형 프로그래밍 문제로 수립하며, 목적은 정규화된 형상 인자(Shape Factor)를 최대화하는 것이다.
• 일반화된 샤우르츠-크리스토펠 변환의 매개변수를 사용하여 핀 기하구조를 매개변수화하여 수치 최적화를 가능하게 한다.
• 특히 직사각형 핀에 대해 유한 차분 및 유한 요소 시뮬레이션을 통해 결과를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 열전달 표면에 핀을 추가할 때 전체 열전달률이 향상되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 기초가 열전달 과정에 포함되는 2차원 주기적 채널에서 균일한 대류 조건 하에서 최적의 핀 형상은 무엇인가?
• RQ3 직사각형 핀의 효과성은 길이나 기초 두께에 따라 달라지는가, 아니면 통합된 두께 기준이 존재하는가?
• RQ4 핀이 열전달을 향상시키거나 감소시키는지를 결정하는 임계 비토 수는 무엇인가?
• RQ5 비토 수에 따라 핀의 효과성은 어떻게 변화하며, 최대 효과성은 얼마인가?

주요 결과

• 최대 열전달을 위한 최적의 핀 형상은 무한히 얇은 것으로 나타나, 균일한 열전달 계수 조건에서는 핀 두께를 최소화해야 한다는 것을 시사한다.
• 핀이 열전달을 향상시키는 데 성공하려면 비토 수가 이론적 임계값 이하일 때만 가능하며, 이 임계값이 존재한다.
• 직사각형 핀의 경우 Bi × 두께 < 1.64일 때 효과성이 최대화되며, 이 경우 임계 값은 Bi_c ≈ 16.4이며, 이는 차원 없는 단위로 두께 0.1일 때 해당된다.
• 임계 두께 조건은 차원 있는 기준으로 변환될 수 있으며, 이는 핀 두께 < 1.64 × k / h로 표현되며, 이는 핀 길이나 기초 두께와 무관하다.
• 최대 핀 효과성은 Bi = 0일 때 발생하며, 그 값은 H_f(차원 없는 핀 길이)를 사용하여 2H_f + 1로 표현된다.
• 유한 차분 및 유한 요소 방법을 통한 수치 검증을 통해 경계 요소 방법과 최적화 결과의 정확성이 확인되었다.