[논문 리뷰] Crossed products and cleft extensions for coquasi-Hopf algebras

Adriana Balan|ArXiv.org|2008. 05. 27.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비바이알지아와 히프 대수의 일반화된 구조인 공구아지 호프 대수에 대해 교차곱과 갈라진 확장을 도입한다. 이는 비바이알지아적 구조가 아닌 환경으로의 히프 대수의 구성들을 일반화한다. 논문은 갈라진 확장이 역으로 가능한 코사이클을 가진 교차곱과 동치임을 증명하며, 차원 2와 3인 비자명한 공구아지 호프 대수에 대해 이러한 확장들을 완전히 분류한다. 또한 모리타 동치를 통해 이러한 공구아지 호프 모듈의 범주가 자명하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

The notion of crossed product by a coquasi-bialgebra H is introduced and studied. The resulting crossed product is an algebra in the monoidal category of right H-comodules. We give an interpretation of the crossed product as an action of a monoidal category. In particular, necessary and sufficient conditions for two crossed products to be equivalent are provided. Then, two structure theorems for coquasi Hopf modules are given. First, these are relative Hopf modules over the crossed product. Second, the category of coquasi-Hopf modules is trivial, namely equivalent to the category of modules over the starting associative algebra. In connection the crossed product, we recall the notion of a cleft extension over a coquasi-Hopf algebra. A Morita context of Hom spaces is constructed in order to explain these extensions, which are shown to be equivalent with crossed product with invertible cocycle. At the end, we give a complete description of all cleft extensions by the non-trivial coquasi-Hopf algebras of dimension two and three.

연구 동기 및 목표

• 바이알지아와 히프 대수에서의 교차곱과 갈라진 확장 이론을 바이알지아적 성질이 없는 공구아지 호프 대수로 일반화하기 위해.
• 공모듈의 모나이드 범주 작용을 통해 교차곱의 범주론적 해석을 제공하기 위해.
• 갈라진 확장을 위한 모리타 맥락을 수립하고, 역으로 가능한 코사이클을 가진 교차곱과의 동치성을 증명하기 위해.
• 차원 2와 3인 비자명한 공구아지 호프 대수에 대해 모든 갈라진 확장을 분류하기 위해.
• 공구아지 호프 모듈의 범주가 자명하다—즉, 기저 대수 위의 모듈의 범주와 동치이다—는 것을 증명하기 위해, 공구아지바이알지아가 항대칭을 가지며 코사이클이 역으로 가능할 조건을 만족할 때.

제안 방법

• 재결합자 $ \omega $에 의해 수정된 $ R $-값을 가진 2차 코사이클을 사용하여, 공구아지바이알지아 $ H $ 와 $ H $-약하게 작용하는 대수 $ R $ 에 대해 교차곱 $ R \overline{\#}_{\sigma} H $ 을 정의한다.
• 모나이드 범주 이론을 활용하여 교차곱을 $ H $-코모듈의 범주가 $ R $-모듈의 범주 위에 작용하는 것으로 해석한다.
• 갈라진 확장을 분석하고, 역으로 가능한 코사이클을 가진 교차곱과의 동치성을 보이기 위해 호모지오미터 공간의 모리타 맥락을 구성한다.
• 특정 호환 조건을 만족하는 여섯 원소의 튜플 $ (\mathcal{F}, \mathcal{G}, u^{(1)}, u^{(2)}, v^{(1)}, v^{(2)}) $ 을 통해 갈라진 $ H(3) $-데이터를 특성화한다.
• 기저 대수 $ B $ 의 내부 자동형사를 연결하기 위해 $ \mathfrak{a}: H(3) \to B $ 의 콘볼루션 역으로 가능한 사상들을 사용한다.
• 코사이클이 역으로 가능하고 $ H $ 가 항대칭을 가질 경우, 공구아지 호프 모듈의 범주는 특수한 코인variant 위로의 사영을 통해 $ R $-모듈의 범주와 동치임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 엄격한 결합법칙이 성립하지 않는 상황에서, 바이알지아에서의 교차곱 개념을 공구아지 호프 대수로 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 공구아지 호프 대수 위의 갈라진 확장이 언제 역으로 가능한 코사이클을 가진 교차곱과 동치가 되는가?
• RQ3 공구아지 호프 모듈의 범주는 어떤 구조를 가지며, 언제 자명하다(즉, 기저 대수 위의 모듈의 범주와 동치이다)는가?
• RQ4 비자명한 공구아지 호프 대수의 차원 2와 3에 대해 모든 갈라진 확장을 어떻게 분류할 수 있는가?
• RQ5 다른 갈라진 데이터로부터 생성된 두 교차곱 대수 사이의 동형관계를 결정하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 공구아지 호프 대수 위의 갈라진 확장은 역으로 가능한 코사이클을 가진 교차곱과 동치이며, 이는 히프 대수의 경우를 일반화한다.
• 공구아지바이알지아가 항대칭을 가지며 코사이클이 역으로 가능할 경우, 공구아지 호프 모듈의 범주는 자명하다—즉, 기저 대수 $ R $ 위의 오른쪽 모듈의 범주와 동치이다.
• 차원 3인 비자명한 공구아지 호프 대수 $ H(3) $ 에 의한 모든 갈라진 확장들은 조건 6개를 만족하는 데이터로 완전히 매개화된 교차곱 $ \left(\frac{\mathcal{F},\mathcal{G},u^{(1)},u^{(2)},v^{(1)},v^{(2)}}{B}\right) $ 와 동형이다.
• 두 교차곱이 서로 동형일 조건은 그 데이터들이 기저 대수 $ B $ 의 내부 자동형사로 연결되어 있을 때이며, 이에 따라 사상과 원소에 대한 특정 변환 법칙이 성립한다.
• 교차곱 $ H^* \overline{\#}_{\sigma} H $ 는 재결합자 $ \omega $ 를 코사이클로 사용하여 구성된, 공구아지바이알지아에 대한 히젠베르크 이중의 유사체이다.
• 유한 차원의 경우, 교차 체계는 오른쪽 $ H^* $-코모듈 대수와 대응되며, 교차곱은 하우서와 닐의 준 스매시 tích과 일치한다.