[논문 리뷰] Crossings and Nestings for Arc-Coloured Permutations

Lily Yen|arXiv (Cornell University)|2012. 11. 15.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 15인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 r-색상이 부여된 치환에서 교차와 중첩 통계의 대칭 결합 분포를 수립하며, 이는 이전의 매칭과 집합 분할 결과를 확장한다. 새로운 이분사와 전이 행렬을 통한 유한 상태 오토마타 모델링을 사용하여, j-비교교차, k-비중첩, r-색상이 부여된 치환의 보통 생성함수들이 유리함수임을 증명하며, 최대 5개의 색상까지 Maple 코드를 통한 자동 계산이 가능하다.

ABSTRACT

The equidistribution of many crossing and nesting statistics exists in several combinatorial objects like matchings, set partitions, permutations, and embedded labelled graphs. The involutions switching nesting and crossing numbers for set partitions given by Krattenthaler, also by Chen, Deng, Du, Stanley, and Yan, and for permutations given by Burrill, Mishna, and Post involved passing through tableau-like objects. Recently, Chen and Guo for matchings, and Marberg for set partitions extended the result to coloured arc annotated diagrams. We prove that symmetric joint distribution continues to hold for arc-coloured permutations. As in Marberg's recent work, but through a different interpretation, we also conclude that the ordinary generating functions for all $j$-noncrossing, $k$-nonnesting, $r$-coloured permutations according to size $n$ are rational functions. We use the interpretation to automate the generation of these rational series for both noncrossing and nonnesting coloured set partitions and permutations.

연구 동기 및 목표

• 매칭과 집합 분할에서 교차와 중첩 통계의 대칭 등분포를 화살표 색상이 부여된 치환으로 확장한다.
• Marberg(색상이 부여된 집합 분할에 대해)와 Chen & Guo(색상이 부여된 매칭에 대해)의 유리 생성함수 결과를 r-색상이 부여된 치환으로 일반화한다.
• j-교차와 k-중첩을 가진 치환과 k-교차와 j-중첩을 가진 치환 사이의 구축 가능한 이분사를 만들어 내며, 색상 구조를 유지한다.
• 유한 상태 오토마타와 전이 행렬 방법을 사용하여, 비교교차와 비중첩 r-색상이 부여된 치환의 생성함수를 자동으로 생성한다.

제안 방법

• 표준형 객체와 개선된 교차/중첩 정의를 사용하여, j-교차와 k-중첩을 가진 r-색상이 부여된 치환과 k-교차와 j-중첩을 가진 치환 사이의 이분사를 구성한다.
• r-색상이 부여된 비교교차 및 비중첩 치환의 상태 공간을 유한 그래프로 모델링하며, 정점은 색상별로 열린 화살표 집합을 나타내고 간선은 유효한 전이를 나타낸다.
• 열린 화살표 집합의 대칭 차이를 기반으로 이러한 그래프의 인접행렬을 정의하며, 대각선 항목은 고리 수를 세고 비대각선 항목은 호환 가능한 상태 전이를 나타낸다.
• 전이 행렬 방법을 적용하여 생성함수를 행렬의 소행렬식 비율로 계산하며, 이는 유리함수를 얻는다.
• 구성 과정을 Maple으로 구현하며, 재귀적 상태 분류와 조합 선택(combinat[choose])을 사용하여 집합 분할과 치환 모두의 인접행렬을 구성한다.
• 전이 행렬에서 유도된 유리함수의 급수 전개를 통해 생성함수 급수를 계산함으로써 자동 계산을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매칭과 집합 분할에서와 마찬가지로, r-색상이 부여된 치환에서 교차와 중첩 통계의 대칭 결합 분포가 성립하는가?
• RQ2 j-비교교차, k-비중첩, r-색상이 부여된 치환의 보통 생성함수들이 유리함수로 나타날 수 있는가?
• RQ3 r-색상이 부여된 설정에서 j-교차와 k-중첩을 가진 치환과 k-교차와 j-중첩을 가진 치환 사이에 구축 가능한 이분사가 존재하는가?
• RQ4 r-색상이 부여된 비교교차 및 비중첩 치환의 상태 공간을 유한 오토마타로 모델링하여 알고리즘적 계산이 가능한가?

주요 결과

• r-색상이 부여된 치환에서 교차와 중첩 통계의 대칭 결합 분포가 수립되었으며, 매칭과 집합 분할의 결과를 일반화한다.
• j-비교교차, k-비중첩, r-색상이 부여된 치환의 보통 생성함수들이 유리함수로 증명되었으며, Marberg의 결과를 치환으로까지 확장한다.
• 표준형 변환을 통한 교차와 중첩 수를 교환하는 이분사가 구성되었으며, 색상 구조와 화살표 유형을 유지한다.
• 논문은 r-색상이 부여된 집합 분할과 치환 모두에 대해 상태 그래프의 인접행렬을 생성하는 명시적 Maple 코드를 제공하며, 이는 유리 생성함수의 자동 계산을 가능하게 한다.
• 이 방법은 치환에 대해 최대 5개의 색상까지, 집합 분할에 대해 최대 7개의 색상까지의 유리 생성함수를 성공적으로 계산하였으며, 행렬 크기는 최대 256×256까지였다.
• r-색상이 부여된 치환의 경우, 인접행렬 크기가 급격히 증가하여 5개의 색상에서 252×252에 도달하며, 이는 행렬 행렬식 복잡도로 인해 이 이상의 계산은 비현실적이 된다.